СПИРА́ЛЬ
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
СПИРА́ЛЬ (франц. spirale, от лат. spira, от греч. σπεῖρα – изгиб, виток), плоская кривая, которая обходит некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс полярной системы координат, то полярное уравнение С. $ρ=f(φ)$, где $f(φ+2π) < f(φ)$ или $f(φ+2π) > f(φ)$ при всех $φ$. В частности, С. получается, если $f(φ)$ – монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. Наиболее простой вид имеет уравнение архимедовой С. (рис. 1) $ρ=aφ$, $a > 0$, $φ ⩾ 0$, изучавшейся Архимедом в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга. Уравнение $ρ=ae^{kφ}$, $a > 0$, задаёт логарифмич. С. (рис. 2), которая пересекает под одним и тем же углом $α$ все лучи, исходящие из полюса, при этом $\text{ctg}\, α=k$. О гиперболич. С. см. в ст. Линия. Помимо С., которые обходят одну точку, встречаются С., которые обходят несколько точек. Пример такой С. даёт спираль Корню (рис. 3), которая использовалась франц. физиком М. Корню (1874) для решения некоторых задач дифракции света. Параметрич. уравнения этой С. в декартовых координатах имеют вид $$x=\int_0^t \cos \frac{\pi u^2}{2} du, \\ y=a \int_0^t \sin \frac{\pi u^2}{2} du.$$