ЛИ́НИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ЛИ́НИЯ (от лат. linea, букв. – льняная нить; линия, черта), геометрич. понятие, определение которого в разл. разделах математики осуществляется по-разному.
В элементарной геометрии рассматриваются прямые Л., отрезки прямых, ломаные Л., составленные из отрезков, и некоторые кривые Л.; каждый вид кривых Л. определяется тем или иным спец. способом (напр., окружность определяется как множество точек, находящихся на заданном расстоянии $R$ от некоторой точки $O$ – центра окружности). Иногда дают определение Л. как границы части поверхности или траектории движущейся точки. Однако в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчётливой формулировки.
Представление о Л. как о траектории движущейся точки может быть сделано строгим при помощи параметрич. представления Л. Напр., вводя на плоскости прямоугольные координаты $(x,y)$, можно параметрически задать окружность радиуса $R$ с центром в начале координат уравнениями $x=Rcost$, $y=Rsint$. Когда параметр $t$ пробегает значения $0⩽t<2π$, точки $(x,y)$ описывают на плоскости окружность. Вообще, Л. на плоскости задают параметрически равенствами $$x=φ(t), y=ψ(t),$$
где $φ (t)$ и $ψ (t)$ – функции, непрерывные на конечном или бесконечном интервале $Δ$ числовой оси $t$. Каждому значению параметра (из интервала $Δ$) сопоставляется точка $M$, координаты которой задаются этими равенствами. Л., заданная этими равенствами, есть множество точек, соответствующих всевозможным значениям $t$ из $Δ$; при этом точки рассматриваются в определённом порядке, а именно: если точка $M_1$ соответствует значению параметра $t_1$, а точка $M_2$ – значению $t_2$, то $M_1$ считается предшествующей $M_2$, если $t_1. Точки, отвечающие разл. значениям параметра, считаются различными.
Аналогично, в трёхмерном пространстве Л. задаётся параметрически тремя равенствами $x=φ (t)$, $y=ψ (t)$, $z=χ (t)$, где $φ (t)$, $ψ (t)$, $χ (t)$ – действительные функции, непрерывные на к.-л. интервале. В произвольном топологич. пространстве $T$ (которое, в частности, может быть плоскостью, трёхмерным пространством, функциональным пространством и т. п.) Л. параметрически задаются равенствами вида $P=φ(t)$, где $φ$ – функция действительного переменного $t$, непрерывная на к.-л. интервале, значения которой суть точки пространства $T$. Считают, что два параметрич. представления задают одну и ту же Л., если они определяют одно и то же множество точек и один и тот же порядок их следования.
В математич. анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область изменения параметра $t$ есть отрезок $a⩽t⩽b$. В этом случае условие того, что два параметрич. представления $$P=φ(t),\; a⩽t⩽b,$$$$P=φ_1(t_1),\; a_1⩽t_1⩽b_1,$$ задают одну и ту же Л., заключается в существовании непрерывной и строго возрастающей функции $f(t)$, для которой $$f(a)=a_1,\; f(b)=b_1,\; φ(t)=φ_1(f(t)).$$Такое понимание термина «Л.» естественно в большинстве задач анализа (напр., в теории криволинейных интегралов) и механики. При возрастании $t$ от $a$ до $b$ переменная точка $M$, соответствующая данному значению $t$, может проходить через одну и ту же точку Л. один или неск. раз (при разл. значениях параметра $t$). В первом случае точка кривой называется простой, во втором – кратной.
Из аналитич. геометрии известен и др. способ задания Л. на плоскости уравнением $F(x,y)=0$, а в пространстве – двумя уравнениями $F(x,y,z)= 0$, $G(x,y,z)=0$. В случае плоскости часто рассматриваются алгебраич. Л. (кривые) – Л., определяемые уравнением $F(x,y)=0$, где $F(x,y)$ – целая алгебраич. функция, т. е. многочлен степени $n⩾1$. (См. также Алгебраическая кривая.) В этом случае два многочлена $F_1(x,y$) и $F_2(x,y)$ определяют одну и ту же Л. тогда и только тогда, когда существует такая постоянная $c≠0$, что выполняется тождество $$F_1(x,y)≡cF_2(x,y).$$Все многочлены, определяющие одну и ту же Л., имеют одну и ту же степень $n$, называемую порядком соответствующей Л. Напр., в аналитич. геометрии принято считать, что уравнение $(x-y)^2=0$ определяет Л. 2-го порядка, а именно дважды взятую прямую $x-y=0$. Л. 1-го порядка являются прямые. Часто целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраич. Л., т. е. таких Л., для которых многочлен $F$ не допускает представления $F=GH$, где $G$ и $H$ – многочлены, отличные от постоянных. Далее имеется в виду только этот случай.
Говорят, что точка $(x_0,y_0)$ кривой $F(x,y)=0$ имеет кратность $m$, если разложение функции $F(x,y)=0$ по степеням переменных $x-x_0$ и $y-y_0$ начинается с членов степени $m$ (по совокупности переменных $x-x_0$ и $y-y_0$). В случае $m=2$, т. е. в случае двойной точки, $$F(x,y)=a_{11}(x-x_0)^2 + 2a_{12}(x-x_0)(y-y_0) + a_{22}(y-y_0)^2 + ...,$$ где многоточие означает, что далее следуют члены высших порядков. При помощи дискриминанта $δ=a_{11}a_{22}- a^2_{12}$ можно определить тип двойной точки (см. Особая точка кривой).
При изучении алгебраич. Л. часто, наряду с точками евклидовой действительной плоскости (или пространства), рассматриваются точки бесконечно удалённые и мнимые. При таком подходе (и надлежащем учёте кратности пересечения) становится верным, напр., утверждение, что две Л. порядков $n$ и $m$ пересекаются в $mn$ точках. В случае $m=1$ это приводит к возможности определить порядок Л. как число $n$ точек её пересечения с некоторой прямой.
Рассмотренные выше уточнения и обобщения понятия Л. существенно связаны с соответствующим алгебраич. и аналитич. аппаратом. В отличие от этого, совр. топология рассматривает представление о Л. как о множестве точек независимо от алгебраич. или аналитич. способов задания этого множества.
Если исходить из параметрич. задания Л. на плоскости в виде множества точек, координаты которых определяются равенствами $x=φ (t)$ и $y=ψ (t)$, где $φ$ и $ψ$ – непрерывные функции, а $t$ пробегает отрезок $a⩽t⩽b$, но интересоваться только полученным множеством точек без учёта порядка их следования, то приходят к понятию Л., сформулированному в 1880-х гг. М. Э. К. Жорданом (см. Жордана кривая), т. е. к понятию Л. как непрерывного образа отрезка. Оказывается, что таким непрерывным образом отрезка может быть квадрат, треугольник и т. п. (см. Пеано кривая). Взаимно однозначный непрерывный образ отрезка называют простой дугой или жордановой дугой. Взаимно однозначный непрерывный образ окружности называют простой замкнутой Л. Простые дуги и простые замкнутые Л. не исчерпывают, однако, точечных множеств, заслуживающих наименование линий.
Избегая и чрезмерной общности, и чрезмерного сужения понятия Л., в совр. топологии пользуются понятием Л., введённым в 1921 П. С. Урысоном, который определяет Л. (кривую) как произвольный континуум размерности единица. Континуум имеет размерность единица, если при любом $ε>0$ он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего $ε$, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки. Континуум, лежащий на плоскости, будет Л. в смысле Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутр. точек. Этим свойством характеризовал Л., лежащие на плоскости, Г. Кантор (1870-е гг.). Хотя определение Кантора применимо только к Л., лежащим на плоскости, иногда и общие Л. в смысле Урысона называют канторовыми кривыми.
Ещё математики древности рассматривали ряд замечательных алгебраич. Л., среди которых линии второго порядка, Л. более высоких порядков, а также трансцендентные (неалгебраические) Л. Систематич. изучение Л. и их классификация стали возможными после создания аналитич. геометрии.
Из Л. 3-го порядка наиболее известны следующие.
Локон Аньези (или верзиера) – плоская алгебраич. кривая, декартовы прямоугольные координаты точек которой связаны уравнением $x^2y+a^2y-a^3=0$, где постоянная $a>0$ (рис. 1). Исследование этой Л. связано с именем итал. математика М. Аньези (1748).
Декартов лист – кривая, уравнение которой в декартовых прямоугольных координатах есть $x^3+y^3-3axy=0$, где постоянная $a>0$ (рис. 2). Впервые кривая определяется в переписке Р. Декарта и П. Ферма (1638).
Кубическая парабола – кривая, уравнение которой в прямоугольных декартовых координатах есть $y=ax^3$, где $a$ – действительное число, $a≠0$.
Полукубическая парабола (парабола Нейля) – кривая, уравнение которой в прямоугольных декартовых координатах есть $у=ax^{3/2}$, где постоянная $a>0$ (рис. 3). Её параметрич. уравнения суть $x=t^2$, $y=at^3$. Названа по имени изучавшего её англ. математика У. Нейля (1657).
Трезубец – кривая, уравнение которой в прямоугольных декартовых координатах есть $xy=ax^3+bx^2+cx+d$, где $a, b, c, d$ – положительные постоянные (рис. 4). Кривая имеет две бесконечные ветви и одну асимптоту. Левая ветвь кривой (т. н. парабола Декарта) описана Р. Декартом (1637). Кривая исследовалась И. Ньютоном (1704), предложившим название.
Из Л. 4-го порядка наиболее известны следующие.
Лемниската Бернулли – кривая, имеющая форму восьмёрки (рис. 5); геометрич. место точек, для которых произведение расстояний до фокусов $F_1(–а,0)$ и $F_2(а,0)$ равно $а^2$. Уравнение в прямоугольных координатах есть $(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=0$ и $ρ^2=2а^2cos2φ$ в полярных координатах. Впервые рассматривалась Я. Бернулли (1694). Лемниската является частным случаем овала Кассини.
Овал Кассини – кривая, уравнение в прямоугольных координатах которой есть$$(x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4,$$где $a$ и $c$ – положительные числа. Для точек этой кривой (рис. 6) произведение расстояний до двух фиксированных точек $F_1(-c,0)$ и $F_2(c,0)$ является посто-янной величиной $a^2$. Форма кривой, симметричной относительно осей $Ox$ и $Oy$, зависит от соотношения между параметрами $a$ и $c$. При $a>c\sqrt{2}$ эта кривая – эллипсообразный овал (кривая а на рис. 6), при $c$ – «овал с талией» (кривая б, рис. 6), при $a=c$ – лемниската Бернулли (кривая в, рис. 6), при $a$ овал Кассини состоит из двух овалов (кривая г, рис. 6). Рассмотрены Дж. Кассини (17 в.).
Декартов овал – плоская кривая (рис. 7), расстояния $r_1$ и $r_2$ для каждой точки до двух фиксированных точек $F_1$ и $F_2$ (фокусов) связаны неоднородным линейным уравнением $r_1+mr_2=a$, где $m$ и $a$ – положительные числа. Эту Л. можно задать однородным линейным уравнением $r_1+mr_2+nr_3=0$, где $r_3$ – расстояние до третьего фокуса $F_3$, лежащего на прямой, проходящей через $F_1$ и $F_2$. В прямоугольных декартовых координатах уравнение этой Л. имеет вид $\sqrt {x^2+y^2}+m\sqrt {(x-d)^2+y^2}=a$, где $d$ – длина отрезка $F_1F_2$. При $m= 1$ и $a>d$ декартов овал представляет собой эллипс, при $m=-1$ и $a{<}d$ – гиперболу и при $m=a/d$ – Паскаля улитку. Впервые исследовались Р. Декартом (1637).
Кардиоида – кривая, уравнение которой в прямоугольных координатах есть$$(x^2+y^2-r^2)^2=4r^2((x-r)^2+y^2),$$где $r>0$, и $ρ=2r(1-cosφ)$ в полярных координатах. Кардиоида описывается точкой $M$ окружности (рис. 8) радиуса $r$, катящейся по окружности того же радиуса. Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля.
Из Л. более высоких порядков наиболее известны кривые Ламе и астроиды.
Кривая Ламе – Л., уравнение которой в прямоугольных координатах есть $$\left ( \frac{x}{a} \right )^m + \left ( \frac{y}{b} \right )^m=1,$$ где $a$ и $b$ – положительные числа, $m=p/q$ – рациональное число, причём $p$ и $q$ – взаимно простые числа. Приведены примеры кривых Ламе для $m>1$, чётного $p$ и нечётного $q$ (рис. 9,а) и $0, чётного $p$ и нечётного $q$ (рис. 9,б). При $m>0$ порядок кривой есть $pq$, и он равен $2pq$ при $m<0$. Эти кривые рассмотрены Г. Ламе (1818).
Астроида – плоская алгебраич. кривая 6-го порядка, которая описывается точкой $M$ окружности радиуса $r$, катящейся по внутр. стороне неподвижной окружности радиуса $R=4r$ (рис. 10). Уравнение астроиды в прямоугольных координатах есть $x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$, где $R$ – радиус неподвижной окружности.
Большой класс Л. составляют трансцендентные Л. К ним относятся графики тригонометрических функций, показательной функции, логарифмической функции, гиперболических функций, а также трактриса, узорная кривая, цепная линия, циклоида. К циклоиде по способу построения примыкает класс циклоидальных кривых, которые могут быть как трансцендентными, так и алгебраическими. Напр., астроида является циклоидальной кривой.
Среди трансцендентных Л. выделяют спирали. К спиралям относится гиперболическая спираль (рис. 11) – кривая, описываемая точкой $M$, движущейся по вращающейся прямой $OA$ так, что её расстояние от центра вращения меняется обратно пропорционально углу поворота. Уравнение в полярных координатах есть $ρ=a/φ$ . Кривая состоит из двух ветвей, соответствующих положительным и отрицательным значениям $φ$.
Особый класс составляют производные от др. кривых, т. е. полученные из исходных при помощи некоторых операций, напр. погони линия, эволюта, эвольвента.
Важнейшей числовой характеристикой протяжённости Л. является длина. Длиной отрезка прямой называется расстояние между его концами, измеренное с помощью к.-л. отрезка, принятого за единицу длины. Длина ломаной Л. определяется как сумма длин её звеньев. Длина простой дуги – предел длин вписанных в эту дугу ломаных, когда число звеньев неограниченно увеличивается и максимум их длин стремится к нулю. Напр., длина окружности может быть получена как предел периметров правильных вписанных многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон и равна $2πR$, где $R$ – радиус окружности. Длина непрерывной кривой, состоящей из конечного числа простых дуг, равна сумме длин этих дуг. Всякая непрерывная кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой конечна, то она называется спрямляемой.
График функции (рис. 12) $$f(x)=\left\{\begin{matrix}{x\:\text{sin}\frac{\pi}{2x}\; \text{при}\; 0<x<1}\\{0\; \text{при}\;x=0}\end{matrix}\right.$$даёт пример неспрямляемой кривой; для этой Л. длины вписанных ломаных неограниченно растут, когда длины звеньев стремятся к нулю.
Длина $l$ плоской кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением $y=f(x)$, $a⩽x⩽b$, где $f(x)$ имеет непрерывную производную $f(x)$, выражается интегралом $$l=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx.$$Если кривая задана в параметрич. форме $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t_1⩽t⩽t_2$, то её длина выражается равенством $$l=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt.$$Длина спрямляемой кривой не зависит от способа параметризации. Длина пространственной кривой, заданной в параметрич. форме $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$, $t_1{⩽}t{⩽}t_2$ , выражается равенством $$l=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt,$$
