РИККА́ТИ УРАВНЕ́НИЕ

РИККА́ТИ УРАВНЕ́НИЕ, обык­но­вен­ное диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние 1-го по­ряд­ка ви­да $$y′+ay^2=bt^α,$$где $a$, $b$, $α$ – по­сто­ян­ные. Впер­вые это урав­не­ние ис­сле­до­вал Я. Рик­ка­ти (1723), отд. ча­ст­ные слу­чаи рас­смат­ри­ва­лись ра­нее. Д. Бер­нул­ли ус­та­но­вил (1724–25), что Р. у. ин­тег­ри­ру­ет­ся в эле­мен­тар­ных функ­ци­ях, ес­ли $α=-2$ или $α=-4k(2k-1)$, где $k$ – це­лое чис­ло. Ж. Лиу­вилль до­ка­зал (1841), что при дру­гих α ре­ше­ние Р. у. нель­зя вы­ра­зить в квад­ра­ту­рах от эле­мен­тар­ных функ­ций. Об­щее ре­ше­ние Р. у. мо­жет быть за­пи­са­но с по­мо­щью ци­лин­д­ри­че­ских функ­ций. Име­ют­ся разл. обоб­ще­ния уравнения Риккати.