ПРИБЛИЖЕ́НИЕ ФУ́НКЦИЙ

ПРИБЛИЖЕ́НИЕ ФУ́НКЦИЙ ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го, раз­дел ком­плекс­но­го ана­ли­за, изу­чаю­щий во­про­сы при­бли­жён­но­го пред­став­ле­ния (ап­прок­си­ма­ции) функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го по­сред­ст­вом ана­ли­тических функ­ций спе­ци­аль­ных клас­сов. Цен­траль­ная про­бле­ма­ти­ка от­но­сит­ся к П. ф. мно­го­чле­на­ми и ра­цио­наль­ны­ми функ­ция­ми. Ос­нов­ны­ми яв­ля­ют­ся за­да­чи о воз­мож­но­сти при­бли­же­ния, ско­ро­сти при­бли­же­ния и ап­прок­си­ма­ци­он­ных свой­ст­вах разл. спо­со­бов пред­став­ле­ния функ­ций (ин­тер­по­ля­ци­он­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей и ря­дов, ря­дов по ор­то­го­наль­ным мно­го­чле­нам и мно­го­чле­нам Фа­бе­ра, раз­ло­же­ний в не­пре­рыв­ные дро­би и т. п.). Тео­рия при­бли­же­ний тес­но свя­за­на с др. раз­де­ла­ми ком­плекс­но­го ана­ли­за (тео­ри­ей кон­форм­ных ото­бра­же­ний, ин­те­г­раль­ны­ми пред­став­ле­ния­ми, тео­ри­ей по­тен­циа­ла и др.); мн. тео­ре­мы, фор­му­ли­руе­мые в тер­ми­нах тео­рии при­бли­же­ний, яв­ля­ют­ся, по су­ще­ст­ву, глу­бо­ки­ми ре­зуль­та­та­ми о свой­ст­вах ана­ли­тич. функ­ций и при­ро­де ана­ли­тич­но­сти.

Од­ним из пер­вых ре­зуль­та­тов о по­ли­но­ми­аль­ной ап­прок­си­ма­ции яв­ля­ет­ся тео­ре­ма Рун­ге, со­глас­но ко­то­рой лю­бая функ­ция, го­ло­морф­ная в од­но­связ­ной об­лас­ти плос­ко­сти ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го $z$, мо­жет быть рав­но­мер­но ап­прок­си­ми­ро­ва­на на ком­пакт­ных под­мно­же­ст­вах этой об­лас­ти по­сред­ст­вом мно­го­чле­нов от $z$. Об­щая за­да­ча о воз­мож­но­сти рав­но­мер­но­го при­бли­же­ния мно­го­чле­на­ми ста­вит­ся так: для ка­ких ком­пак­тов $K$ в ком­плекс­ной плос­ко­сти лю­бая функ­ция $f$, не­пре­рыв­ная на $K$ и го­ло­морф­ная на мно­же­ст­ве внутр. то­чек $K$, до­пус­ка­ет рав­но­мер­ную ап­прок­си­ма­цию на $K$ (с лю­бой сте­пе­нью точ­но­сти) по­сред­ст­вом мно­го­чле­нов от $z$. Не­об­хо­ди­мым и дос­та­точ­ным ус­ло­ви­ем воз­мож­но­сти та­кой ап­прок­си­ма­ции яв­ля­ет­ся связ­ность до­пол­не­ния ком­пак­та $K$. Эта тео­ре­ма в ча­ст­ных слу­ча­ях до­ка­за­на М. А. Лав­рен­ть­е­вым (1934) и М. В. Кел­ды­шем (1945), в об­щем слу­чае – С. Н. Мер­ге­ля­ном (1951).

Пусть $E_n=E_n(f, K)$ – наи­луч­шее П. ф. $f(z)$ на ком­пак­те $K$ по­сред­ст­вом мно­го­чле­нов от $z$ сте­пе­ни не вы­ше $n$. Ес­ли $K$ – ком­пакт со связ­ным до­пол­не­ни­ем и функ­ция $f$ го­ло­морф­на на $K$, то по­сле­до­ва­тель­ность $\{E_n\}$ стре­мит­ся к ну­лю бы­ст­рее не­ко­то­рой гео­мет­рич. про­грес­сии: $E_n\lt q^n$, $0\lt q=q(f)\lt 1$, $n>N$. Ес­ли $f$ не­пре­рыв­на на $K$ и го­ло­морф­на во внут­рен­них точ­ках $K$, то ско­рость её ап­прок­си­ма­ции мно­го­чле­на­ми за­ви­сит как от свойств $f$ на гра­ни­це $K$ (мо­дуль не­пре­рыв­но­сти, диф­фе­рен­ци­руе­мость), так и от гео­мет­рич. свойств гра­ни­цы $K$.

Дру­гие на­прав­ле­ния ис­сле­до­ва­ний в тео­рии П. ф. ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го: рав­но­мер­ные и наи­луч­шие при­бли­же­ния ра­цио­наль­ны­ми функ­ция­ми, при­бли­же­ния це­лы­ми функ­ция­ми, ве­со­вые при­бли­же­ния мно­го­чле­на­ми, при­бли­же­ния мно­го­чле­на­ми и ра­цио­наль­ны­ми функ­ция­ми в ин­те­граль­ных мет­ри­ках. Боль­шое вни­ма­ние уде­ля­ет­ся про­бле­ма­ти­ке, свя­зан­ной с П. ф. не­сколь­ких ком­плекс­ных пе­ре­мен­ных.