ПОСЛЕ́ДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕ́НИЙ МЕ́ТОД

ПОСЛЕ́ДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИ­ЖЕ́НИЙ МЕ́ТОД (ме­тод по­втор­ных под­ста­но­вок, ме­тод про­стой ите­ра­ции), один из об­щих ме­то­дов при­бли­жён­но­го ре­ше­ния урав­не­ний. В ря­де слу­ча­ев хо­ро­шая схо­ди­мость по­стро­ен­ных этим ме­то­дом при­бли­же­ний по­зво­ля­ет при­ме­нять его в прак­ти­ке вы­чис­ле­ний.

Пусть $E$ – не­ко­то­рое мно­же­ст­во, на ко­то­ром за­дан опе­ра­тор $A$, ото­бра­жаю­щий $E$ в се­бя. Тре­бу­ет­ся най­ти не­под­виж­ную точ­ку это­го опе­ра­то­ра, т. е. ре­ше­ние урав­не­ния $$Ax=x, x∈E.\tag1$$ Пусть это урав­не­ние име­ет ре­ше­ние $x_*$  и ука­за­но к.-л. его на­чаль­ное при­бли­же­ние $x_0∈E$. С по­мо­щью ре­кур­рент­но­го со­от­но­ше­ния $$x_n+1=Ax_n,\qquad n=0,1,2,...,\tag2$$ оп­ре­де­ля­ет­ся по­сле­до­ва­тель­ность $\{x_n\}^∞_{n=0}$. По­строе­ние этой по­сле­до­ва­тель­но­сти и ис­сле­до­ва­ние во­про­са о её схо­ди­мо­сти обыч­но на­зы­ва­ют ме­то­дом по­сле­до­ва­тель­ных при­бли­же­ний.

Для ис­сле­до­ва­ния схо­ди­мо­сти по­сле­до­ва­тель­но­сти (2), а так­же для до­ка­за­тель­ст­ва су­ще­ст­во­ва­ния ре­ше­ния урав­не­ния (1) ши­ро­ко при­ме­ня­ет­ся сфор­му­ли­ро­ван­ный ни­же прин­цип сжи­маю­щих ото­бра­же­ний.

Ес­ли $E$ – пол­ное мет­ри­че­ское про­стран­ст­во

с мет­ри­кой $ρ$ и для всех $x$, $y∈E$ $$ρ(Ax,Ay)⩽αρ(x,y), 0\lt α=const\lt 1,$$ то урав­не­ние (1) име­ет един­ст­вен­ное ре­ше­ние, ко­то­рое яв­ля­ет­ся пре­де­лом по­сле­до­ва­тель­ных при­бли­же­ний (2) при лю­бом на­чаль­ном при­бли­же­нии $x_0$. Для при­бли­же­ния $x_n$ вер­на сле­дую­щая оцен­ка его бли­зо­сти к ре­ше­нию $x_*$: $$ρ(x_n,x_*)⩽\frac{α^n}{1-α}ρ(Ax_0,x_0).$$

Пусть, напр., $E=\rm{R}^n$ – $n$-мер­ное про­стран­ст­во и опе­ра­тор $A$ в (1) име­ет вид $Ax=Bx+c$, где $B= ‖ b_{ik} ‖$  – квад­рат­ная мат­ри­ца $n$-го по­ряд­ка, $c=(c_1,...,c_n)$ – за­дан­ный, а $x=(x_1,...,x_n)$ – ис­ко­мый век­то­ры в $\rm{R}^n$. Ес­ли в этом про­стран­ст­ве мет­ри­ка оп­ре­де­ле­на фор­му­лой $ρ(x,y)=max_{1⩽i⩽n} ∣x_i-y_i∣$ и эле­мен­ты мат­ри­цы $B$ удов­ле­тво­ря­ют ус­ло­вию $\sum^n_{k=1}|b_{ik}|\lt 1$ для всех $i=1,...,n$, то из прин­ци­па сжи­маю­щих ото­бра­же­ний сле­ду­ет, что сис­те­ма ал­геб­ра­ич. урав­не­ний (1) име­ет в $\rm{R}^n$ един­ст­вен­ное ре­ше­ние, ко­то­рое мож­но вы­чис­лить со сколь угод­но вы­со­кой точ­но­стью, ис­хо­дя из про­из­воль­но­го век­то­ра $x_0=(x_1^{(0)},...,x_n^{(0)})$.