ПЛО́ЩАДЬ

ПЛО́ЩАДЬ, од­на из ко­ли­че­ст­вен­ных ха­рак­те­ри­стик, свя­зан­ных с гео­мет­рич. фи­гу­ра­ми. В про­стей­ших слу­ча­ях из­ме­ря­ет­ся чис­лом за­пол­няю­щих пло­скую фи­гу­ру еди­нич­ных квад­ра­тов, т. е. квад­ра­тов со сто­ро­ной, рав­ной еди­ни­це дли­ны.

Вы­чис­ле­ние П. уже в древ­но­сти бы­ло од­ной из важ­ней­ших за­дач прак­тич. гео­мет­рии, что свя­за­но с из­ме­ре­ни­ем зе­мель­ных уча­ст­ков. За неск. сто­ле­тий до н. э. греч. учё­ные рас­по­ла­га­ли точ­ны­ми пра­ви­ла­ми вы­чис­ле­ния П., ко­то­рые в «На­ча­лах» Евк­ли­да

об­ле­че­ны в фор­му тео­рем. При этом П. мно­го­уголь­ни­ков оп­ре­де­ля­лись те­ми же приё­ма­ми раз­ло­же­ния и до­пол­не­ния фи­гур, ко­то­рые со­хра­ни­лись в школь­ном пре­по­да­ва­нии. Для вы­чис­ле­ния П. фи­гур с кри­во­ли­ней­ны­ми гра­ни­ца­ми при­ме­нял­ся пре­дель­ный пе­ре­ход в фор­ме ис­чер­пы­ва­ния ме­то­да

 >>

.

Тео­рия П. пло­ских фи­гур, ог­ра­ни­чен­ных про­сты­ми (т. е. не пе­ре­се­каю­щи­ми се­бя) кон­ту­ра­ми, мо­жет быть по­строе­на сле­дую­щим об­ра­зом. Рас­смат­ри­ва­ют­ся все­воз­мож­ные мно­го­уголь­ни­ки, впи­сан­ные в дан­ную фи­гу­ру $F$, и все­воз­мож­ные мно­го­уголь­ни­ки, опи­сан­ные во­круг фи­гу­ры $F$. (Вы­чис­ле­ние П. мно­го­уголь­ни­ка не пред­став­ля­ет тру­да.) Пусть {$s$} – мно­же­ст­во чи­сел, ко­то­рые суть П. впи­сан­ных в фи­гу­ру мно­го­уголь­ни­ков, а {$S$} – мно­же­ст­во чи­сел, ко­то­рые суть П. опи­сан­ных во­круг фи­гу­ры мно­го­уголь­ни­ков. Мно­же­ст­во {$s$} ог­ра­ни­че­но свер­ху (пло­ща­дью лю­бо­го опи­сан­но­го мно­го­уголь­ни­ка), а мно­же­ст­во {$S$} ог­ра­ни­че­но сни­зу (напр., чис­лом нуль). Наи­мень­шее из чи­сел $\underline S$, ог­ра­ни­чи­ваю­щее свер­ху мно­же­ст­во {$S$}, на­зы­ва­ет­ся ниж­ней П. фи­гу­ры $F$, а наи­боль­шее из чи­сел $\overline S$, ог­ра­ни­чи­ваю­щее сни­зу мно­же­ст­во {$S$}, на­зы­ва­ет­ся верх­ней П. фи­гу­ры $F$. Ес­ли верх­няя П. фи­гу­ры сов­па­да­ет с её ниж­ней П., то чис­ло $S=\overline S=\underline S$ на­зы­ва­ет­ся пло­ща­дью фи­гу­ры, а са­ма $F$ квад­ри­руе­мой фи­гу­рой. Для то­го что­бы пло­ская фи­гу­ра бы­ла квад­ри­руе­мой, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, что­бы для лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го чис­ла $ε$ мож­но бы­ло ука­зать та­кой опи­сан­ный во­круг фи­гу­ры мно­го­уголь­ник и та­кой впи­сан­ный в фи­гу­ру мно­го­уголь­ник, раз­ность $S-s$ пло­ща­дей ко­то­рых бы­ла бы мень­ше $ε$.

Ана­ли­ти­че­ски П. пло­ской фи­гу­ры мо­жет быть вы­чис­ле­на с по­мо­щью ин­те­гра­ла. Пусть фи­гу­ра $F$ – т. н. кри­во­ли­ней­ная тра­пе­ция (рис. 1) – ог­ра­ни­че­на гра­фи­ком за­дан­ной на от­рез­ке $[a, b]$ не­пре­рыв­ной не­от­ри­ца­тель­ной функ­ции $f(x)$, от­рез­ка­ми пря­мых $x=a$ и $x=b$ и от­рез­ком $[a, b]$ оси $Ox$. П. та­кой фи­гу­ры мо­жет быть вы­ра­же­на ин­те­гра­лом $$S=\int\limits_a^b f(x)dx.$$ П. фи­гу­ры, ог­ра­ни­чен­ной замк­ну­тым кон­ту­ром, ко­то­рый встре­ча­ет­ся с ка­ж­дой пря­мой, па­рал­лель­ной к оси $Oy$, не бо­лее чем в двух точ­ках, мо­жет быть вы­чис­ле­на как раз­ность П. двух кри­во­ли­ней­ных тра­пе­ций. П. фи­гу­ры мо­жет быть вы­ра­же­на в ви­де двой­но­го ин­те­гра­ла $$S=\iint\limits_F dxdy,$$ где ин­тег­ри­ро­ва­ние ве­дёт­ся по час­ти плос­ко­сти, за­ня­той фи­гу­рой.

Тео­рия П. фи­гур, рас­по­ло­жен­ных на кри­вой по­верх­но­сти, мо­жет быть по­стро­е­на сле­дую­щим об­ра­зом. Пусть $F$ – од­но­связ­ная фи­гу­ра на глад­кой по­верх­но­сти, ог­ра­ни­чен­ная ку­соч­но глад­ким кон­ту­ром. Фи­гу­ра $F$ раз­би­ва­ет­ся ку­соч­но глад­ки­ми кри­вы­ми на ко­неч­ное чис­ло час­тей $Φ_i$, ка­ж­дая из ко­то­рых од­но­знач­но про­ек­ти­ру­ет­ся на ка­са­тель­ную плос­кость, про­хо­дя­щую че­рез точ­ку $M_i∈Φ_i$ (рис. 2). Пре­дел сумм пло­ща­дей этих про­ек­ций (ес­ли он су­ще­ст­ву­ет), взя­тых по всем эле­мен­там раз­бие­ния, при ус­ло­ви­ях, что он су­ще­ст­ву­ет и не за­ви­сит от вы­бо­ра то­чек $M_i$, на­зы­ва­ет­ся пло­ща­дью фи­гу­ры $F$, а са­ма $F$ на­зы­ва­ет­ся квад­ри­руе­мой. Ана­ли­ти­че­ски П. фи­гу­ры $F$ на по­верх­но­сти, за­дан­ной урав­не­ни­ем $z=f(x, y)$, мо­жет быть вы­ра­же­на ин­те­гра­лом $$S=\iint\limits_G\sqrt{1+(f'_x)^2+(f'_y)^2dxdy},$$ где $G$ – замк­ну­тая об­ласть, яв­ляю­щая­ся про­ек­ци­ей $F$ на плос­кость $Oxy$.

В Меж­ду­нар. си­сте­ме еди­ниц (СИ) П. из­ме­ря­ет­ся в м².

Об обоб­ще­нии по­ня­тия П. см. в ст. Ме­ра мно­же­ст­ва

.