ПЕРЕМЕ́ННЫЕ И ПОСТОЯ́ННЫЕ ВЕЛИЧИ́НЫ

ПЕРЕМЕ́ННЫЕ И ПОСТОЯ́ННЫЕ ВЕ­ЛИ­ЧИ́НЫ, ве­ли­чи­ны, ко­то­рые в изу­чае­мой за­да­че при­ни­ма­ют раз­лич­ные зна­че­ния ли­бо, со­от­вет­ст­вен­но, со­хра­ня­ют од­но и то же зна­че­ние. Напр., при изу­че­нии па­де­ния те­ла рас­стоя­ние по­след­не­го от зем­ли и ско­рость па­де­ния – пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны, ус­ко­ре­ние же (ес­ли пре­неб­речь со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха) – ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная. При на­ли­чии в изу­чае­мой за­да­че бо­лее чем од­ной пе­ре­мен­ной раз­ли­ча­ют не­за­ви­си­мые и за­ви­си­мые пе­ре­мен­ные. По­след­ние рас­смат­ри­ва­ют­ся как функ­ции не­за­ви­си­мых пе­ре­мен­ных (ар­гу­мен­тов). В ука­зан­ном при­ме­ре, ес­ли изу­ча­ет­ся за­ви­си­мость вы­со­ты h от вре­ме­ни t (при этом счи­та­ют­ся за­дан­ны­ми на­чаль­ные ус­ло­вия – на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни и со­от­вет­ст­вую­щая ему вы­со­та и ско­рость), то не­за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной яв­ля­ет­ся вре­мя t, а за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной – функ­ци­ей от t – вы­со­та h; ес­ли же изу­ча­ет­ся за­ви­си­мость ско­ро­сти от вы­со­ты, то не­за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной яв­ля­ет­ся вы­со­та, а ско­рость есть функ­ция от h. Т. о., пе­ре­мен­ные яв­ля­ют­ся за­ви­си­мы­ми или не­за­ви­си­мы­ми лишь по от­но­ше­нию друг к дру­гу, и их раз­ли­че­ние оп­ре­де­ля­ет­ся ус­ло­вия­ми за­да­чи.

Эле­мен­тар­ная ма­те­ма­ти­ка рас­смат­ри­ва­ла все изу­чае­мые ею ве­ли­чи­ны как по­сто­ян­ные. По­ня­тие пе­ре­мен­ной ве­ли­чи­ны воз­ник­ло в ма­те­ма­ти­ке в 17 в. пер­во­на­чаль­но под влия­ни­ем во­про­сов ес­те­ст­во­зна­ния, в ко­то­ром на пер­вый план вы­дви­ну­лось изу­че­ние дви­же­ния, про­цес­сов, а не толь­ко со­стоя­ний. Это по­ня­тие не ук­ла­ды­ва­лось в фор­мы, вы­ра­бо­тан­ные ма­те­ма­ти­кой древ­но­сти и сред­них ве­ков, и тре­бо­ва­ло для сво­его вы­ра­же­ния но­вых форм. Та­ки­ми но­вы­ми фор­ма­ми яви­лись бу­к­вен­ная ал­геб­ра и ана­ли­ти­че­ская гео­мет­рия Р. Де­кар­та. В бу­к­вах де­кар­то­вой ал­геб­ры, мо­гу­щих при­ни­мать про­из­воль­ные чи­сло­вые зна­че­ния, и на­шли своё сим­во­лич. вы­ра­же­ние пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны.

Вплоть до сер. 19 в. пре­об­ла­да­ли ме­ха­нич. воз­зре­ния на пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны. Наи­бо­лее яр­ко они бы­ли вы­ра­же­ны И. Нью­то­ном, на­зы­вав­шим пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны флю­ен­та­ми, т. е. те­ку­щи­ми, и рас­смат­ри­вав­шим их «...не как со­стоя­щие из край­не ма­лых час­тей, но как опи­сы­вае­мые не­пре­рыв­ным дви­же­ни­ем». Та­кое воз­зре­ние, бу­ду­чи по­лу­ин­туи­тив­ным и в из­вест­ном смыс­ле ог­ра­ни­чен­ным, ока­за­лось, тем не ме­нее, весь­ма пло­до­твор­ным и вы­зва­ло бур­ное раз­ви­тие ма­те­ма­тич. ме­то­дов в ес­те­ст­во­зна­нии. Ме­ха­нич. и гео­мет­рич. на­гляд­ность по­явив­ших­ся в 17–18 вв. но­вых по­ня­тий, свя­зан­ных с пе­ре­мен­ны­ми ве­ли­чи­на­ми, та­ких как «не­пре­рыв­ность», «про­из­вод­ная», «ин­те­грал», ком­пен­си­ро­ва­ла пер­во­на­чаль­ный не­дос­та­ток ма­те­ма­тич. стро­го­сти на­столь­ко, что ог­ром­ное ко­ли­че­ст­во цен­ных и уди­ви­тель­но со­гла­со­ван­ных ме­ж­ду со­бой ре­зуль­та­тов бы­ло по­лу­че­но до то­го, как в 19 в. бы­ли кор­рект­но сфор­му­ли­ро­ва­ны осн. по­ня­тия и обос­но­ва­ны (за ма­лым ис­клю­че­ни­ем) все ра­нее по­лу­чен­ные ре­зуль­та­ты. Ис­сле­до­ва­ния ма­те­ма­ти­ков 19 в. по обос­но­ва­нию ма­те­ма­тич. ре­зуль­та­тов и фор­ма­ли­за­ции ма­те­ма­тич. ме­то­дов ес­те­ст­вен­ным об­ра­зом рас­ши­ри­ли по­ня­тие пе­ре­мен­ной ве­ли­чи­ны.

Во 2-й пол. 19 в. и в 20 в. в ма­те­ма­ти­ке ста­ли рас­смат­ри­вать­ся всё бо­лее раз­но­об­раз­ные и ши­ро­кие клас­сы пе­ре­мен­ных объ­ек­тов, раз­ви­ва­лись тео­рия мно­жеств, то­по­ло­гия и ма­те­ма­тич. ло­ги­ка. О том, на­сколь­ко рас­ши­ри­лось в 20 в. по­ня­тие пе­ре­мен­ной, сви­де­тель­ст­ву­ет тот факт, что в ма­те­ма­тич. ло­ги­ке рас­смат­ри­ва­ют­ся не толь­ко пе­ре­мен­ные, про­бе­гаю­щие про­из­воль­ные мно­же­ст­ва пред­ме­тов, но и пе­ре­мен­ные, зна­че­ния­ми ко­то­рых слу­жат вы­ска­зы­ва­ния, пре­ди­ка­ты (от­но­ше­ния ме­ж­ду пред­ме­та­ми) и т. д. На сме­ну ста­ро­му воз­зре­нию на пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны в кон. 19 в. и в 20 в. при­шли оп­ре­де­ле­ния пе­ре­мен­ных и спо­со­бов их из­ме­не­ния в по­ня­ти­ях тео­рии мно­жеств, то­по­ло­гии и ма­те­ма­тич. ло­ги­ки. Так, не­за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная счи­та­ет­ся за­дан­ной, ес­ли за­да­но мно­же­ст­во всех её воз­мож­ных зна­че­ний; функ­цио­наль­ная за­ви­си­мость ме­ж­ду дву­мя пе­ре­мен­ны­ми оп­ре­де­ля­ет­ся как ото­бра­же­ние мно­же­ст­ва зна­че­ний од­ной пе­ре­мен­ной в мно­же­ст­во зна­че­ний др. пе­ре­мен­ной, по­ня­тие пре­де­ла функ­ции наи­бо­лее об­щим об­ра­зом оп­ре­де­ля­ет­ся с по­мо­щью ок­ре­ст­но­стей точ­ки или в к.-л. др. то­по­ло­гич. тер­ми­нах.