ПЕРЕМЕ́ННАЯ

ПЕРЕМЕ́ННАЯ (пе­ре­мен­ное), од­но из ос­нов­ных по­ня­тий ма­те­ма­ти­ки, не­ко­то­рая ве­ли­чи­на, ко­то­рая мо­жет из­ме­нять­ся, при­ни­мая в про­цес­се это­го из­ме­не­ния разл. зна­че­ния. Та­кое по­ни­ма­ние П. воз­ник­ло в ра­бо­тах Р. Де­кар­та, П. Фер­ма, Г. В. Лейб­ни­ца, И. Нью­то­на и др. ос­но­во­по­лож­ни­ков выс­шей ма­те­ма­ти­ки. Тем са­мым П. про­ти­во­пос­тав­ля­лись по­сто­ян­ным (или кон­стан­там) – чис­лам или к.-л. др. ве­ли­чи­нам, ка­ж­дая из ко­то­рых име­ет един­ст­вен­ное, впол­не оп­ре­де­лён­ное зна­че­ние (см. Пе­ре­мен­ные и по­сто­ян­ные ве­ли­чи­ны). По ме­ре раз­ви­тия ма­те­ма­ти­ки и в хо­де её обос­но­ва­ния пред­став­ле­ния о «про­цес­сах», «из­ме­не­нии ве­ли­чин» и т. п. из­го­ня­лись из ма­те­ма­тич. ар­се­на­ла как «вне­ма­те­ма­ти­че­ские», в ре­зуль­та­те че­го П. ста­ла по­ни­мать­ся как обо­зна­че­ние для про­из­воль­но­го эле­мен­та рас­смат­ри­вае­мой пред­мет­ной об­лас­ти (напр., об­лас­ти на­ту­раль­ных чи­сел или дей­ст­ви­тель­ных чи­сел), т. е. как ро­до­вое имя всей этой об­лас­ти (в от­ли­чие от кон­стант – «соб­ст­вен­ных имён» для чи­сел или др. кон­крет­ных объ­ек­тов рас­смат­ри­вае­мой об­лас­ти). Этот пе­ре­смотр взгля­дов на по­ня­тие «П.» был тес­но свя­зан с пе­ре­строй­кой ма­те­ма­ти­ки на ба­зе мно­жеств тео­рии, за­вер­шив­шей­ся в кон. 19 в. При всей про­сто­те и ес­тест­вен­но­сти та­кой пе­ре­строй­ки она су­ще­ст­вен­ным об­ра­зом опи­ра­ет­ся на т. н. абст­рак­цию ак­ту­аль­ной бес­ко­неч­но­сти. Труд­но­сти ре­ше­ния ло­гич. про­блем, свя­зан­ных с при­ня­ти­ем этой аб­страк­ции, де­ла­ют по­нят­ной час­тич­ную «реа­би­ли­та­цию» ста­рых пред­став­ле­ний о «пе­ре­мен­ных ве­ли­чи­нах».

Сре­ди П. вы­де­ля­ют­ся сво­бод­ные и свя­зан­ные П. При­ме­ром сво­бод­ной (или зна­ча­щей) П. мо­жет слу­жить П. $x$ в не­ра­вен­ст­ве $x>5$, об­ра­щаю­щем­ся при под­ста­нов­ке вме­сто $x$, ска­жем, циф­ры (т. е. обо­зна­че­ния для чис­ла) 7 в ис­тин­ное вы­ска­зы­ва­ние, а при под­ста­нов­ке циф­ры 2 – в лож­ное. Что ка­са­ет­ся свя­зан­ных (или фик­тив­ных) П., то они са­ми по себе во­об­ще ни­че­го не оз­на­ча­ют, не­сут чис­то син­так­сич. функ­ции и мо­гут (при со­блю­де­нии не­ко­то­рых эле­мен­тар­ных пре­дос­то­рож­но­стей) «пе­ре­име­но­вы­вать­ся», т. е. за­ме­нять­ся дру­ги­ми П. Та­ко­ва, напр., П. $y$ в за­пи­си $\sum_{y=5}^{25}y$, в ин­тер­пре­та­цию (про­чте­ние) ко­то­рой она во­об­ще не вхо­дит и мо­жет быть за­ме­не­на лю­бой дру­гой П.; эта за­пись (чи­тае­мая как «сум­ма це­лых чи­сел от 5 до 25») мо­жет быть за­ме­не­на на $\sum_{x=5}^{25}x$ или $\sum_{z=5}^{25}z$. Час­то П. мож­но со­дер­жа­тель­но по­ни­мать как «пус­тое ме­сто» в фор­му­ле, снаб­жён­ное ука­за­ни­ем, чем это «ме­сто» мо­жет быть «за­пол­не­но». В свя­зи с этим ино­гда ис­поль­зу­ют­ся за­пи­си функ­ций, ска­жем, дей­ст­ви­тель­ных пе­ре­мен­ных, ви­да $f(\cdot)$, $g(\cdot,\cdot)$, где точ­ки оз­на­ча­ют мес­та для пе­ре­мен­ных.