ОСТРОГРА́ДСКОГО МЕ́ТОД

ОСТРОГРА́ДСКОГО МЕ́ТОД, ме­тод вы­де­ле­ния ра­цио­наль­ной час­ти не­оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­ла

$$\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx,$$ где $Q(x)$ – мно­го­член сте­пе­ни $n$, имею­щий крат­ные кор­ни, а $P(x)$ – мно­го­член сте­пе­ни $m \leq n-1$. О. м. по­зво­ля­ет ал­геб­ра­ич. пу­тём пред­ста­вить та­кой ин­те­грал в ви­де сум­мы двух сла­гае­мых, из ко­то­рых пер­вое яв­ля­ет­ся ра­цио­наль­ной функ­ци­ей пе­ре­мен­но­го $x$, а вто­рое ра­цио­наль­ной час­ти не со­дер­жит. Име­ет ме­сто ра­вен­ст­во $$\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+ \int\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}dx, \quad\tag{*}$$ где $Q_1$, $Q_2$, $P_1$, $P_2$ – мно­го­чле­ны сте­пе­ней со­от­вет­ст­вен­но $n_1$, $n_2$, $m_1$, $m_2$, при­чём $n_1+n_2=n$, $m_1 \leq n_1-1$, $m_2 \leq n_2-1$ и мно­го­член $Q_2(x)$ не име­ет крат­ных кор­ней. Мно­го­член $Q_1(x)$ яв­ля­ет­ся наи­боль­шим об­щим де­ли­те­лем мно­го­чле­нов $Q(x)$ и $Q'(x)$, по­это­му яв­ное вы­ра­же­ние $Q_1(x)$ мож­но най­ти, напр., с по­мо­щью ал­го­рит­ма Евк­ли­да. Диф­фе­рен­ци­руя ле­вую и пра­вую час­ти $(*)$, по­лу­ча­ют то­ж­де­ст­во $$Q_2(x)P'_1(x)-P_1(x)\frac{Q_2(x)Q'_1(x)}{Q_1(x)}+P_2(x)Q_1(x)=P(x),$$ ко­то­рое по­зво­ля­ет най­ти яв­ные вы­ра­же­ния мно­го­чле­нов $P_1(x)$, $P_2(x)$ ме­то­дом не­оп­ре­де­лён­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов.

 

О. м. впер­вые пред­ло­жен М. В. Ост­ро­град­ским

(1844).