ОСТА́ТОЧНЫЙ ЧЛЕН
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ОСТА́ТОЧНЫЙ ЧЛЕН разложения функции, слагаемое в формуле, дающей аппроксимацию этой функции с помощью другой, в каком-то смысле более простой, функции. О. ч. равен разности между заданной функцией и функцией, её аппроксимирующей, тем самым его оценка является оценкой точности рассматриваемой аппроксимации.
К указанным формулам относятся формулы типа Тейлора формулы, интерполяционные формулы, асимптотич. формулы, формулы для приближённого вычисления тех или иных величин. Так, в формуле Тейлора $$f(x)=\sum^n_{k=1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n),\\ x \to x_0,$$О. ч. (в форме Пеано) называется слагаемое $o((x-x_0)^n)$. При асимптотич. разложении функции $$f(x)=a_0+\frac{a_1}{x}+\dots+\frac{a_n}{x^n}+O \left(\frac{1}{x^{n+1}} \right),\\ x \to \infty,$$О. ч. является $O \left(\frac{1}{x^{n+1}} \right)$. В частности, в Стирлинга формуле, дающей асимптотич. разложение гамма-функции $$Г(z+1)=\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z+O(e^{-z}z^{z-1/2}),\\ \text{Re}z \to\infty,$$О. ч. является $O(e^{-z}z^{z-1/2})$.