ОСТА́ТОЧНЫЙ ЧЛЕН

ОСТА́ТОЧНЫЙ ЧЛЕН раз­ло­же­ния функ­ции, сла­гае­мое в фор­му­ле, даю­щей ап­прок­си­ма­цию этой функ­ции с по­мо­щью дру­гой, в ка­ком-то смыс­ле бо­лее про­стой, функ­ции. О. ч. ра­вен раз­но­сти ме­ж­ду за­дан­ной функ­ци­ей и функ­ци­ей, её ап­прок­си­ми­рую­щей, тем са­мым его оцен­ка яв­ля­ет­ся оцен­кой точ­но­сти рас­смат­ри­вае­мой ап­прок­си­ма­ции.

К ука­зан­ным фор­му­лам от­но­сят­ся фор­му­лы ти­па Тей­ло­ра фор­му­лы

, ин­тер­по­ля­ци­он­ные фор­му­лы, асим­пто­тич. фор­му­лы, фор­му­лы для при­бли­жён­но­го вы­чис­ле­ния тех или иных ве­ли­чин. Так, в фор­му­ле Тей­ло­ра $$f(x)=\sum^n_{k=1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n),\\ x \to x_0,$$ О. ч. (в фор­ме Пеа­но) на­зы­ва­ет­ся сла­гае­мое $o((x-x_0)^n)$. При асим­пто­тич. раз­ло­же­нии функ­ции $$f(x)=a_0+\frac{a_1}{x}+\dots+\frac{a_n}{x^n}+O \left(\frac{1}{x^{n+1}} \right),\\ x \to \infty,$$ О. ч. яв­ля­ет­ся $O \left(\frac{1}{x^{n+1}} \right)$. В ча­ст­но­сти, в Стир­лин­га фор­му­ле

 >>

, даю­щей асим­пто­тич. раз­ло­же­ние гам­ма-функ­ции $$Г(z+1)=\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z+O(e^{-z}z^{z-1/2}),\\ \text{Re}z \to\infty,$$ О. ч. яв­ля­ет­ся $O(e^{-z}z^{z-1/2})$.