СТИ́РЛИНГА ФО́РМУЛА

СТИ́РЛИНГА ФО́РМУЛА (фор­му­ла Му­ав­ра – Стир­лин­га), ра­вен­ст­во, по­зво­ляю­щее на­хо­дить при­бли­жён­ные зна­че­ния фак­то­риа­лов $n!=1·2·...·n$ при боль­ших зна­че­ни­ях $n$ и имею­щее вид $$n!=\sqrt{2\pi n}\left( \frac{e}{n} \right)^n e^{θ (n)},$$ где |θ(n)|\leqslant \frac{1}{12n} и $e=2,71828...$ – ос­нование на­ту­раль­ных ло­га­риф­мов. Час­то С. ф. ис­поль­зу­ет­ся в ви­де $$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left( \frac{e}{n} \right)^n,$$  т. е. от­но­ше­ние ле­вой час­ти к пра­вой стре­мит­ся к еди­ни­це при $n→∞$. С. ф. в ви­де $n!\approx B \sqrt{n}\left( \frac{n}{e} \right)^n$ бы­ла от­кры­та А. де Му­ав­ром

(1730), ко­то­рый на­шёл и при­бли­жён­ное зна­че­ние по­сто­ян­ной $B$, рав­ное 2,5074. С во­про­сом о точ­ном зна­че­нии $B$ он об­ра­тил­ся к Дж. Стир­лин­гу

 >>

, пред­ло­жив­ше­му (1730) пер­вое асим­пто­тич. раз­ло­же­ние для ло­га­риф­ма гам­ма-функ­ции, т. н. ряд Стир­лин­га, из ко­торо­го сле­ду­ет, что $B=\sqrt{2\pi}=2.506628...$. Для на­ту­раль­ных $n$ гам­ма-функ­ция и чис­ло $n!$ свя­за­ны ра­вен­ст­вом $Γ(n+1)=n!$, из ря­да Стир­лин­га сле­ду­ет, что $$n!=\sqrt{2\pi n}\left( \frac{n}{e} \right)^n \times \\ \times \left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}+...\right).$$