НОРМИ́РОВАННОЕ КОЛЬЦО́

НОРМИ́РОВАННОЕ КОЛЬЦО́, не­пус­тое мно­же­ст­во $R$, для эле­мен­тов ко­то­ро­го оп­ре­де­ле­ны две би­нар­ные опе­ра­ции – сло­же­ние и ум­но­же­ние (обо­зна­чае­мые обыч­но + и · со­от­вет­ст­вен­но; знак · обыч­но опус­ка­ет­ся), при­чём $R$ яв­ля­ет­ся нор­ми­ро­ван­ным про­стран­ст­вом и пред­по­ла­га­ют­ся вы­пол­нен­ны­ми сле­дую­щие ус­ло­вия ($a,b,c∈R$):

1. Ком­му­та­тив­ность сло­же­ния: $a+b=b+a$.

2. Ас­со­циа­тив­ность сло­же­ния: $a+(b+c)=(a+b)+c$.

3. Об­ра­ти­мость сло­же­ния (воз­мож­ность вы­чи­та­ния): урав­не­ние $a+x=b$ име­ет ре­ше­ние $x=b-a∈R$.

4. Ди­ст­ри­бу­тив­ность ум­но­же­ния от­но­си­тель­но сло­же­ния: $a(b+c)=ab+ac$ и $(b+a)c=bc+ac$.

Ес­ли для лю­бых $a, b∈R$ вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ст­во $ab=ba$, то Н. к. на­зы­ва­ет­ся ком­му­та­тив­ным. Ком­му­та­тив­ные Н. к. на­зы­ва­ют­ся так­же ба­на­хо­вы­ми ал­геб­ра­ми.