БА́НАХОВА А́ЛГЕБРА

БА́НАХОВА А́ЛГЕБРА, ал­геб­ра $A$ над по­лем ком­плекс­ных чи­сел, яв­ляю­щая­ся ба­на­хо­вым про­стран­ст­вом. Струк­ту­ра ал­геб­ры со­гла­со­ва­на со струк­ту­рой ба­на­хо­ва про­стран­ст­ва в том смыс­ле, что на­ря­ду с не­пре­рыв­но­стью ли­ней­ных опе­ра­ций в ал­геб­ре $A$ не­пре­рыв­но и ум­но­же­ние. Не­пре­рыв­ность про­из­ве­де­ния $xy$ по со­во­куп­но­сти ар­гу­мен­тов $x, y$ в дан­ном слу­чае рав­но­силь­на не­пре­рыв­но­сти как сле­ва (по $x$), так и спра­ва (по $y$). В Б. а. су­ще­ст­ву­ет нор­ма $‖{·}‖$, эк­ви­ва­лент­ная ис­ход­ной, удов­ле­тво­ряю­щая ус­ло­вию $‖x·y‖{⩽}‖x‖{·}‖y‖$. Ес­ли в Б. а. су­ще­ст­ву­ет еди­ни­ца, то её нор­ма рав­на 1.

При­ме­ра­ми Б. а. яв­ля­ют­ся ал­геб­ра всех не­пре­рыв­ных функ­ций на от­рез­ке $[0, 1]$, ал­геб­ра ана­ли­тич. функ­ций в дис­ке (кру­ге) $∣z∣{<}1$ ком­плекс­ной плос­ко­сти, не­пре­рыв­ных в его за­мы­ка­нии $∣z∣{⩽}1$, ал­геб­ра всех ог­ра­ни­чен­ных ли­ней­ных опе­ра­то­ров ба­на­хо­ва про­ст­ран­ст­ва. По­след­няя ал­геб­ра не ком­му­та­тив­на, ес­ли про­стран­ст­во не од­но­мер­но. Ал­геб­ры всех ог­ра­ни­чен­ных ли­ней­ных опе­ра­то­ров ба­на­хо­вых про­странств уни­вер­саль­ны: ка­ж­дая Б. а. точ­но пред­став­ля­ет­ся в ви­де замк­ну­той по­дал­геб­ры под­хо­дя­щей ал­геб­ры опе­ра­то­ров. Б. а. ли­ней­ных опе­ра­то­ров гиль­бер­то­ва про­стран­ст­ва изу­ча­лись в свя­зи с за­да­ча­ми кван­то­вой ме­ха­ни­ки.

В от­но­ше­нии ком­му­та­тив­ных Б. а. эф­фек­тив­ным ока­зал­ся аб­ст­ракт­ный под­ход. Ком­му­та­тив­ные Б. а. так­же на­зы­ва­ют ком­му­та­тив­ны­ми нор­ми­ро­ван­ны­ми коль­ца­ми. Тео­рия ком­му­та­тив­ных Б. а. объ­е­ди­ни­ла мно­го­числ. раз­роз­нен­ные фак­ты клас­сич. гар­мо­ни­че­ско­го ана­ли­за. Тео­рия Б. а. так­же свя­за­на с мно­го­мер­ным ком­плекс­ным ана­ли­зом и ал­геб­раи­че­ской то­по­ло­ги­ей.