НО́РМА

НО́РМА в ма­те­ма­ти­ке, обоб­ще­ние по­ня­тия аб­со­лют­ной ве­ли­чи­ны чис­ла. Напр., Н. век­то­ра $x$ на­зы­ва­ет­ся его дли­на $||x||$, Н. мат­ри­цы $A$ – чис­ло , где sup $\frac{||Ax||}{||x||}$ оз­на­ча­ет точ­ную верх­нюю грань по всем $x$ (см. Ин­фи­мум и су­пре­мум).

Нор­мой $||x||$ эле­мен­та $x $век­тор­но­го про­стран­ст­ва $X$ на­зы­ва­ет­ся ото­бра­же­ние $x→||x||$ век­тор­но­го про­стран­ст­ва $X $ над по­лем дей­ст­ви­тель­ных или ком­плекс­ных чи­сел в со­во­куп­ность дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, под­чи­нён­ное ус­ло­ви­ям:$||x||⩾ 0,$ при­чём $||x||=0 $ толь­ко при $x=0;$$||λx||=|λ|·||x|| $ для ка­ж­до­го ска­ля­ра $λ$;$||x+y||⩽||x||+||y||$ для всех $x, y∈X$ (не­ра­вен­ст­во тре­уголь­ни­ка).

Век­тор­ное про­стран­ст­во с Н. на­зы­ва­ет­ся нор­ми­ро­ван­ным про­стран­ст­вом. С по­мо­щью Н. в нор­ми­ро­ван­ном век­тор­ном про­стран­ст­ве мож­но оп­ре­де­лить Н. для ли­ней­ных функ­цио­на­лов f(x) по фор­му­ле $$||f||=sup\frac{|f(x)|}{||x||}$$и для ли­ней­ных опе­ра­то­ров $A$ по фор­му­ле$$||A||=sup\frac{||Ax||}{||x||}$$

Знак $||\ ||$ для обо­зна­че­ния Н. ввёл нем. ма­те­ма­тик Э. Шмидт (1908).