И́НФИМУМ И СУПРЕ́МУМ

И́НФИМУМ И СУПРЕ́МУМ (лат. infimum, букв. – са­мое ниж­нее; supremum, букв. – наи­выс­шее) (не­пус­то­го) чи­сло­во­го мно­же­ст­ва, точ­ная ниж­няя и точ­ная верх­няя гра­ни это­го мно­же­ст­ва. Ес­ли мно­же­ст­во $A$ ог­ра­ни­че­но сни­зу, то су­ще­ству­ет чис­ло $m$, наи­боль­шее из чи­сел, ог­ра­ни­чи­ваю­щее $A$ сни­зу. Это чис­ло на­зы­ва­ют точ­ной ниж­ней гра­нью мно­же­ства $A$, обо­зна­ча­ют inf $A$ и пи­шут $m =\inf \,f\{x:x∈A\}$. Ес­ли мно­же­ст­во $A$ не ог­ра­ни­че­но сни­зу, то по­ла­га­ют $\inf \, A= –\infty$. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся точ­ная верх­няя грань мно­же­ст­ва $A$. Ес­ли мно­же­ст­во $A$ ог­ра­ни­че­но свер­ху, то $\sup A$ – наи­мень­шее из чи­сел, ог­ра­ни­чи­ваю­щих $A$ свер­ху, а ес­ли $A$ не ог­ра­ни­че­но свер­ху, то $\sup F=+\infty$.

Точ­ные ниж­няя и верх­няя гра­ни мо­гут как дос­ти­гать­ся, так и не дос­ти­гать­ся. Напр., ес­ли $A$ – мно­же­ст­во чи­сел $x$ та­ких, что $a⩽{x}<{b}$, где $a$ и $b$, $a<{b}$, – не­ко­то­рые чис­ла, $\inf A=a$ и точ­ная ниж­няя грань дос­ти­га­ет­ся на чис­ле $a$ и $\sup A=b$, но точ­ная верх­няя грань не дос­ти­га­ет­ся. В лю­бом слу­чае су­ще­ст­ву­ют по­сле­до­ва­тель­но­сти $x_1,\,x_2,...$ и $y_1,\,y_2,...$ чи­сел из мно­же­ст­ва $A$ та­кие, что $$\lim_{n \to \infty} x_n =\inf A, \, \, \, \lim_{n \to \infty} y_n=\sup A.$$

Ес­ли точ­ная ниж­няя грань дос­ти­га­ет­ся, то вме­сто $\inf A$ пи­шут $\min A$. Ес­ли точ­ная верх­няя грань дос­ти­га­ет­ся, то вме­сто $\sup A$ пи­шут $\max A$.