ГЁЛЬДЕРА НЕРА́ВЕНСТВО

ГЁЛЬДЕРА НЕРА́ВЕНСТВО, не­ра­вен­ст­во
$$|a_1b_1+\ldots+a_nb_n|⩽(|a_1|^p+\ldots +|a_n|^p)^{1/p}(|b_1|^q+ \ldots +|b_n|^q)^{1/q,}$$ для про­из­воль­ных дей­ст­ви­тель­ных или ком­плекс­ных чи­сел $a_k, b_k, k=1,...,n$, где $p>1$ и $1/p+1/q=1$. Име­ют ме­сто ана­ло­ги Г. н. для ря­дов$$\left| \sum_{k=1}^{\infty}a_kb_k \right|⩽\left \lgroup \sum_{k=1}^{\infty} |a_k|^p \right \rgroup^{1/p}\left \lgroup \sum_{k=1}^{\infty}|b_k|^q \right \rgroup^{1/q}$$и ин­те­гра­лов$$\left| \int \limits_a^bf(x)g(x)dx \right|⩽\left \lgroup \int\limits_a^b |f(x)|^p dx \right \rgroup^{1/p} \left \lgroup \int\limits _a^b |g(x)|^q dx \right \rgroup^{1/q},$$ес­ли ря­ды и ин­те­гра­лы в пра­вых час­тях не­ра­венств схо­дят­ся. Г. н. ус­та­нов­ле­но нем. ма­те­ма­ти­ком О. Л. Гёль­де­ром (1889). При $p=q=2$ Г. н. для ко­неч­ных сумм и ря­дов пре­вра­ща­ет­ся в Ко­ши не­ра­вен­ст­во, а для ин­те­гра­лов – в Бу­ня­ков­ско­го не­ра­вен­ст­во. Г. н. до­пус­ка­ет зна­чит. обоб­ще­ния, напр., оно спра­вед­ли­во и для крат­ных ин­те­гра­лов. Г. н. яв­ля­ет­ся од­ним из не­ра­венств, час­то ис­поль­зуе­мых в ма­те­ма­тич. ана­ли­зе.