НЕПРОТИВОРЕЧИ́ВОСТЬ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
НЕПРОТИВОРЕЧИ́ВОСТЬ, свойство аксиоматич. теории, состоящее в том, что в этой теории нельзя получить противоречие, т. е. доказать некоторое предложение и вместе с тем его отрицание или доказать заведомо абсурдное утверждение. Для широкого класса аксиоматич. теорий (в частности, для тех, в основе которых лежит обычная классич. логика) Н. имеет место тогда и только тогда, когда существует предложение, формулируемое в данной теории и недоказуемое в ней.
Понятие Н. и методы доказательства Н. аксиоматич. теорий развивались и уточнялись вместе с развитием аксиоматического метода. Для т. н. материальных аксиоматик, т. е. аксиоматич. теорий, в которых значения исходных терминов считаются заданными с самого начала, вопрос о Н. сколько-нибудь остро не стоял. Напр., интуитивная убеждённость в Н. аксиоматич. системы евклидовой геометрии основывается на «опыте», поскольку эти аксиомы – очевидные предложения о геометрич. объектах. Построение неевклидовых геометрий и связанное с ним возникновение формальных аксиоматик впервые поставило проблему доказательства Н. аксиоматич. теорий. Так, Лобачевского геометрия получается из евклидовой геометрии заменой аксиомы о параллельных другим постулатом, противоречащим тем интуитивным представлениям, в силу которых признаются истинными аксиомы Евклида. Поэтому Н. геометрии Лобачевского не усматривается непосредственно из «опыта» и требует своего обоснования. Первые результаты о Н. аксиоматич. теорий были получены с помощью метода интерпретаций, который состоит в том, что исходным понятиям исследуемой теории сопоставляются некоторые конкретные математич. объекты, причём аксиомы оказываются истинными утверждениями об этих объектах. Примером применения этого метода может служить интерпретация Клейна для системы аксиом геометрии Лобачевского. В этой интерпретации плоскость трактуется как внутренность круга на обычной евклидовой плоскости, а прямые – как хорды этого круга.
Другой метод доказательства Н. (метаматематич. метод) был предложен Д. Гильбертом. Он связан с представлением аксиоматич. теории в виде формальной системы. Утверждение о Н. некоторой формальной системы означает, что среди доказательств, возможных в этой системе, нет двух таких, одно из которых является доказательством некоторой формулы, а другое – доказательством её отрицания. Выдвинутая Гильбертом программа обоснования математики состояла в установлении Н. её разделов путём анализа доказательств в соответствующих формальных системах. Теория, объектами которой являются произвольные математич. доказательства, называется теорией доказательств или метаматематикой. Примером применения метаматематич. метода может служить предложенное нем. математиком Г. Генценом доказательство Н. формальной системы арифметики.
Любое математич. доказательство Н. является относительным: оно лишь сводит вопрос о Н. одной теории к вопросу о Н. др. теории. Это особенно наглядно проявляется в методе интерпретаций. Объекты, служащие для интерпретации исходных понятий данной аксиоматич. теории T, сами оказываются предметом рассмотрения некоторой др. математич. теории T′, и полученное этим методом доказательство Н. теории T действительно лишь в случае, если теория T′ непротиворечива. Таким образом, напр., была установлена Н. геометрии Лобачевского в предположении Н. геометрии Евклида, а вопрос о Н. последней был сведён к проблеме Н. арифметики.
Метаматематич. метод доказательства Н. не требует построения интерпретации для каждой конкретной теории. Оставаясь по сути своей относительным, метаматематич. доказательство Н. сводит вопрос о Н. данной теории к вопросу о надёжности метаматематики, объекты которой не зависят от содержания конкретной рассматриваемой теории. В этом состоит одно из гл. преимуществ метаматематич. метода перед методом интерпретаций. Программа Д. Гильберта предусматривала использование в метаматематике лишь таких понятий и методов, надёжность которых не вызывает сомнений.
Цель всякого доказательства Н. – свести вопрос о Н. данной теории к аналогичному вопросу для такой теории, Н. которой представляется более обоснованной. В этой связи большое значение имеет теорема Гёделя о неполноте, которая утверждает, что Н. аксиоматич. теории, содержащей арифметику, невозможно доказать с помощью средств самой рассматриваемой теории. Таким образом, вопрос о Н. данной теории может быть решён лишь с привлечением средств некоторой более сильной теории.