НАТУРА́ЛЬНЫЕ УРАВНЕ́НИЯ

НАТУРА́ЛЬНЫЕ УРАВНЕ́НИЯ, вы­ра­жа­ют кри­виз­ну $k$ и кру­че­ние $σ$ кри­вой как функ­ции дли­ны $s$ её ду­ги: $k=k(s)$, $σ=σ(s)$. Назв. «Н. у.» объ­яс­ня­ет­ся тем, что функ­ции $k(s)$ и $σ(s)$ за­ви­сят толь­ко от фор­мы кри­вой и не за­ви­сят от по­ло­же­ния кри­вой в про­стран­ст­ве (от вы­бо­ра сис­те­мы ко­ор­ди­нат). Две три­ж­ды не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­мые кри­вые, имею­щие оди­на­ко­вые Н. у., мо­гут от­ли­чать­ся друг от дру­га толь­ко по­ло­же­ни­ем в про­стран­ст­ве. Ина­че го­во­ря, фор­ма кри­вой од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ет­ся её Н. у. Ес­ли за­да­ны две непре­рыв­ные функ­ции $k(s)$ и $σ(s)$, из ко­то­рых пер­вая по­ло­жи­тель­ная, то су­ще­ст­ву­ет кри­вая, для ко­то­рой дан­ные функ­ции яв­ля­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но кри­виз­ной и кру­че­ни­ем. См. так­же Диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия.