МУА́ВРА – ЛАПЛА́СА ТЕОРЕ́МА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
МУА́ВРА – ЛАПЛА́СА ТЕОРЕ́МА, исторически одна из первых предельных теорем теории вероятностей. Пусть Sn – число успехов в n испытаниях Бернулли (т. е. в независимых испытаниях с двумя исходами, один из которых называется успехом) с вероятностью успеха p,0<p<1,q=1−p, тогда для вероятности P{Sn=m}=Cmnpmqn–m,0⩽m⩽n, m – целое, справедливо равенство {\bf P}\{S_n=m\}=\frac{1}{\sqrt{2πnpq}}e^{-x^2/2} (1+α_n), \, (*) где α_n→0 при n→∞ равномерно для всех m, для которых x=(m-np)/\sqrt{npq} принадлежит к.-л. конечному интервалу. Из равномерных нормальных аппроксимаций биномиального распределения наиболее сильным является следующее приближение: {\bf P}\{S_n=m\}=\frac{1}{\sqrt{2πnpq}} e^{-x^2/2}\biggl[1+\frac{(q-p)(x^3-3x)}{6\sqrt{npq}}\biggl]+Δ, где |Δ|<\frac{0,15+0,25|p-q|}{(npq)^{3/2}} +e^{-3\sqrt{npq}/2} при условии, что npq⩾25.
А. де Муавр доказал теорему в общем виде в работе «A Method of approximating the Sum of the Terms of the Binomial (a+b)^n expended into a Series, from whence are deduced some practical Rules to estimate the Degree of Assent which is to be given to Experiments» (1733). П. Лаплас заново доказал теорему Муавра (1812).
Представление (*) принято называть локальной М. – Л. т. в отличие от интегральной М. – Л. т., которая может быть получена как следствие первой: \sum {\bf P}\{{S}_{n}={m}:{a}<{x}<{b}\}=\frac{1}{\sqrt{2π}}\int\limits^{b}_{a} \exp \biggl( -\frac{x^2}{2} \biggl) {dx}(1+{α}_{n}).