МУА́ВРА – ЛАПЛА́СА ТЕОРЕ́МА

МУА́ВРА – ЛАПЛА́СА ТЕОРЕ́МА, ис­то­ри­че­ски од­на из пер­вых пре­дель­ных тео­рем тео­рии ве­ро­ят­но­стей. Пусть $S_n$ – чис­ло ус­пе­хов в $n$ ис­пы­та­ни­ях Бер­нул­ли (т. е. в не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ни­ях с дву­мя ис­хо­да­ми, один из ко­то­рых на­зы­ва­ет­ся ус­пе­хом) с ве­ро­ят­но­стью ус­пе­ха $p,\, 0<{p}<1, {q}=1-{p}$, то­гда для ве­ро­ят­но­сти $${\bf P}\{S_n=m\}=C_n^mp^mq^{n–m},\, 0⩽m⩽n,$$ $m$ – це­лое, спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $${\bf P}\{S_n=m\}=\frac{1}{\sqrt{2πnpq}}e^{-x^2/2} (1+α_n), \, (*)$$ где $α_n→0$ при $n→∞$ рав­но­мер­но для всех $m$, для ко­то­рых $x=(m-np)/\sqrt{npq}$ при­над­ле­жит к.-л. ко­неч­но­му ин­тер­ва­лу. Из рав­но­мер­ных нор­маль­ных ап­прок­си­ма­ций би­но­ми­аль­но­го рас­пре­де­ле­ния наи­бо­лее силь­ным яв­ля­ет­ся сле­дую­щее при­бли­же­ние: $${\bf P}\{S_n=m\}=\frac{1}{\sqrt{2πnpq}} e^{-x^2/2}\biggl[1+\frac{(q-p)(x^3-3x)}{6\sqrt{npq}}\biggl]+Δ,$$ где $$|Δ|<\frac{0,15+0,25|p-q|}{(npq)^{3/2}} +e^{-3\sqrt{npq}/2}$$ при ус­ло­вии, что $npq⩾25$.

А. де Му­авр до­ка­зал тео­ре­му в об­щем ви­де в работе «A Method of approxima­ting the Sum of the Terms of the Bino­mial $(a+b)^n$ expended into a Series, from whence are deduced some practical Rules to estimate the Degree of Assent which is to be given to Experiments» (1733). П. Ла­п­лас за­но­во до­ка­зал тео­ре­му Му­ав­ра (1812).

Пред­став­ле­ние (*) при­ня­то на­зы­вать ло­каль­ной М. – Л. т. в от­ли­чие от ин­те­граль­ной М. – Л. т., ко­то­рая мо­жет быть по­лу­че­на как след­ст­вие пер­вой: $$ \sum {\bf P}\{{S}_{n}={m}:{a}<{x}<{b}\}=\frac{1}{\sqrt{2π}}\int\limits^{b}_{a} \exp \biggl( -\frac{x^2}{2} \biggl) {dx}(1+{α}_{n}).$$