МО́ДУЛЬ НЕПРЕРЫ́ВНОСТИ

МО́ДУЛЬ НЕПРЕРЫ́ВНОСТИ, ха­рак­те­ристи­ка не­пре­рыв­ных функ­ций, точ­нее, М. н. функ­ции $f$ на­зы­ва­ют ве­ли­чи­ну $$ω(f,δ)=\max_x \max_{0 ⩽ h⩽δ}|f(x+h)-f(x)|,$$ где пер­вый мак­си­мум бе­рёт­ся по $x$ та­ким, что точ­ки $x$ и $x+h$ вхо­дят в об­ласть оп­ре­де­ле­ния функ­ции $f$. Это по­ня­тие вве­де­но А. Ле­бе­гом (1910). Ес­ли для М. н. функ­ции $f$ име­ет ме­сто оцен­ка $ω(f,δ)⩽Mδ^α$, где $0<α⩽1$ и $M$ – не­ко­то­рая по­сто­ян­ная, то го­во­рят, что $f$ удов­ле­тво­ря­ет Липши­ца­ ус­ло­вию по­ряд­ка $α$.

Рас­смат­ри­ва­ют так­же М. н. выс­ших по­ряд­ков$$ω_k(f,δ)=\max_x \max_{0 ⩽ h⩽δ}|Δ_h^kf(x)|,$$ где $$Δ_h^kf(x)=\sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^if(x+ih)$$– ко­неч­ная раз­ность по­ряд­ка $k$ с ша­гом $h$ функ­ции $f$, а так­же М. н. в об­щих ба­на­хо­вых про­стран­ст­вах функ­ций. Напр., для функ­ций, за­дан­ных на от­рез­ке $[a,b]$, ис­поль­зу­ет­ся ин­те­граль­ный М. н. $$ω(f,δ)_L=\max_{0 ⩽ h⩽δ}\int\limits_a^{b-h}|f(x+h)-f(x)|dx.$$