ЛИ́ПШИЦА УСЛО́ВИЕ

ЛИ́ПШИЦА УСЛО́ВИЕ, ог­ра­ни­че­ние на по­ве­де­ние при­ра­ще­ний функ­ции. Ес­ли для лю­бых то­чек $x$ и $y$, при­над­ле­жа­щих от­рез­ку $[a,b]$, при­ра­ще­ние функ­ции $f$ удов­ле­тво­ря­ет не­ра­вен­ст­ву

$$\left | \!f(x)-f(y)\!\right |⩽M\left |\:х-y\:\right |^α,$$где $α$ и $M$ – не­ко­то­рые по­сто­ян­ные, $0<α⩽1, M>0$, то го­во­рят, что функ­ция $f$ удов­ле­тво­ря­ет Л. у. по­ряд­ка $α$ на от­рез­ке $[a,b]$. Функ­ция, удов­ле­тво­ряю­щая на от­рез­ке $[a,b]$ Л. у. при к.-л. $α>0$ и $M>0$, рав­но­мер­но не­пре­рыв­на на $[a,b]$. Функ­ция, имею­щая на $[a,b]$ ог­ра­ни­ченную про­из­вод­ную, удов­ле­тво­ря­ет на $[a,b]$ Л. у. с лю­бым $α⩽1$ и не­ко­то­рым $M$. Л. у. ввёл в 1864 нем. ма­те­ма­тик Р. Лип­шиц в ка­че­ст­ве дос­та­точ­но­го ус­ло­вия для схо­ди­мо­сти Фу­рье ря­да функ­ции $f(x)$. Ино­гда, ис­то­ри­че­ски не­пра­виль­но, с име­нем Лип­ши­ца свя­зы­ва­ют толь­ко наи­бо­лее важ­ный слу­чай, в ко­то­ром $α=1$, а в слу­чае $α<1$ Л. у. на­зы­ва­ют ус­ло­ви­ем Гёль­де­ра.