КРА́ТНЫЙ РЯД

КРА́ТНЫЙ РЯД, фор­маль­но за­пи­сан­ная сум­ма $$\sum_{k_1=1}^\infty\ldots\sum_{k_m=1}^\infty a_{k_1},\ldots,k_m$$ бес­ко­неч­но­го на­бо­ра сла­гае­мых, за­ви­ся­щих от $m$ ин­дек­сов, $m⩾2$. Сла­гае­мые на­зы­ва­ют­ся чле­на­ми ря­да, они мо­гут быть чис­ла­ми, функ­ция­ми и др. объ­ек­та­ми.

Ха­рак­тер­ные осо­бен­но­сти К. р. по срав­не­нию с обыч­ны­ми ря­да­ми (од­но­мер­ны­ми, при $m=1$) вид­ны на при­ме­ре двой­ных чи­сло­вых ря­дов, ко­гда $m=2$.

Как и для обыч­ных ря­дов (см. Ряд), схо­ди­мость двой­но­го ря­да по­ни­ма­ет­ся как схо­ди­мость его час­тич­ных сумм и сум­мой ря­да на­зы­ва­ет­ся пре­дел час­тич­ных сумм, ес­ли он су­ще­ст­ву­ет, при этом для двой­ных ря­дов нет еди­но­го оп­ре­де­ле­ния час­тич­ных сумм. В раз­ных слу­ча­ях ес­те­ст­вен­ны­ми ока­зы­ва­ют­ся разл. оп­ре­де­ле­ния час­тич­ных сумм. Наи­бо­лее час­то рас­смат­ри­ва­ют час­тич­ные сум­мы ви­да $$S_{N,M}=\sum^N_{i=1}\sum^M_{j=1}a_{i,j}$$и двой­ной ряд на­зы­ва­ют схо­дя­щим­ся по пря­мо­уголь­ни­кам (или по Прин­гс­хей­му) к чис­лу $S$, ес­ли сум­мы $S_{N,M}$ стре­мят­ся к $S$, ко­гда $N$ и $M$ не­ог­ра­ни­чен­но воз­рас­та­ют не­за­ви­си­мо друг от дру­га. Ес­ли су­ще­ст­ву­ют по­ло­жи­тель­ные по­сто­ян­ные $C_1$ и $C_2$ та­кие, что $S_{N,M}→S$ при $N,M→∞$ так, что вы­пол­ня­ют­ся не­ра­вен­ст­ва $$C_1⩽{N\over M}⩽C_2$$то го­во­рят о схо­ди­мо­сти по пря­мо­уголь­ни­кам с ог­ра­ни­чен­ным от­но­ше­ни­ем. Ес­ли $S_{N,N}→S$ при $N→∞$, то го­во­рят о схо­ди­мо­сти по квад­ра­там. Ес­ли бе­рут­ся час­тич­ные сум­мы $$S_N=\sum_{i^2+j^2⩽N^2}a_{i,j}$$и $S_N→S$ при $N→∞$, то го­во­рят о схо­ди­мо­сти по кру­гам.

Мн. свой­ст­ва К. р. су­ще­ст­вен­но от­ли­ча­ют­ся от свойств од­но­мер­ных ря­дов. Напр., чле­ны схо­дя­щих­ся по Прин­гс­хей­му ря­дов не обя­за­тель­но ог­ра­ни­че­ны.

Для пред­став­ле­ния функ­ций двух пе­ре­мен­ных $f(x,y)$ ис­поль­зу­ют­ся двой­ные сте­пен­ные ря­ды $$\sum_{i=0}^\infty\sum_{j=0}^\infty c_{i,j}x^iy^j.$$