КРА́ТНЫЙ РЯД
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
КРА́ТНЫЙ РЯД, формально записанная сумма $$\sum_{k_1=1}^\infty\ldots\sum_{k_m=1}^\infty a_{k_1},\ldots,k_m$$ бесконечного набора слагаемых, зависящих от $m$ индексов, $m⩾2$. Слагаемые называются членами ряда, они могут быть числами, функциями и др. объектами.
Характерные особенности К. р. по сравнению с обычными рядами (одномерными, при $m=1$) видны на примере двойных числовых рядов, когда $m=2$.
Как и для обычных рядов (см. Ряд), сходимость двойного ряда понимается как сходимость его частичных сумм и суммой ряда называется предел частичных сумм, если он существует, при этом для двойных рядов нет единого определения частичных сумм. В разных случаях естественными оказываются разл. определения частичных сумм. Наиболее часто рассматривают частичные суммы вида $$S_{N,M}=\sum^N_{i=1}\sum^M_{j=1}a_{i,j}$$и двойной ряд называют сходящимся по прямоугольникам (или по Прингсхейму) к числу $S$, если суммы $S_{N,M}$ стремятся к $S$, когда $N$ и $M$ неограниченно возрастают независимо друг от друга. Если существуют положительные постоянные $C_1$ и $C_2$ такие, что $S_{N,M}→S$ при $N,M→∞$ так, что выполняются неравенства $$C_1⩽{N\over M}⩽C_2$$то говорят о сходимости по прямоугольникам с ограниченным отношением. Если $S_{N,N}→S$ при $N→∞$, то говорят о сходимости по квадратам. Если берутся частичные суммы $$S_N=\sum_{i^2+j^2⩽N^2}a_{i,j}$$и $S_N→S$ при $N→∞$, то говорят о сходимости по кругам.
Мн. свойства К. р. существенно отличаются от свойств одномерных рядов. Напр., члены сходящихся по Прингсхейму рядов не обязательно ограничены.
Для представления функций двух переменных $f(x,y)$ используются двойные степенные ряды $$\sum_{i=0}^\infty\sum_{j=0}^\infty c_{i,j}x^iy^j.$$