КОНЕ́ЧНЫХ ПРИРАЩЕ́НИЙ ФО́РМУЛА

КОНЕ́ЧНЫХ ПРИРАЩЕ́НИЙ ФО́РМУЛА (фор­му­ла Ла­гран­жа), од­на из осн. фор­мул диф­фе­рен­ци­аль­но­го ис­чис­ле­ния, свя­зы­ваю­щая при­ра­ще­ние функ­ции $f (x)$ на от­рез­ке $[a, b]$ со зна­че­ния­ми её про­из­вод­ной $$f (b)-f (a)=f′(ξ) (b-a), $$ где $ξ$ – не­ко­то­рая точ­ка, удов­ле­тво­ряю­щая ус­ло­вию $a\ltξ\lt b$. К. п. ф. спра­вед­ли­ва, ес­ли функ­ция $f (x)$ не­пре­рыв­на на от­рез­ке $[a, b]$ и име­ет про­из­вод­ную в ка­ж­дой точ­ке ин­тер­ва­ла $(a, b)$. Гео­мет­ри­че­ски К. п. ф. оз­на­ча­ет, что на гра­фи­ке функ­ции $y=f (x)$ су­ще­ст­ву­ет точ­ка $(ξ, f (ξ))$, в ко­то­рой ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой, со­еди­няю­щей точ­ки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$. К. п. ф. час­то за­пи­сы­ва­ют в ви­де $$f (x+h)-f (x)=f′(x+θh)h, $$ где $h$ – при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та, $θ$ – не­ко­то­рое чис­ло, удов­ле­тво­ряю­щее не­ра­вен­ст­вам $0<θ<1 $.

К. п. ф. ус­та­нов­ле­на Ж. Ла­гран­жем (1797), она яв­ля­ет­ся про­стей­шим слу­ча­ем Тей­ло­ра фор­му­лы с ос­та­точ­ным чле­ном в фор­ме Ла­гран­жа.

Име­ют­ся мно­го­чис­лен­ные раз­но­об­раз­ные обоб­ще­ния К. п. ф. Напр., спра­вед­ли­вы фор­му­ла Ко­ши о при­ра­ще­ни­ях двух функ­ций  $$\frac{f (b)-f (a)}{g (b)-g (a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)},\, a\lt\xi\lt b$$ и фор­му­ла для при­ра­ще­ний функ­ции мно­гих пе­ре­мен­ных $$F (x_1+h_1,\ldots, x_n+h_n)-F (x_1,… x_n)=\\=\sum_{k=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_k} (x_1+\theta h_1,\ldots, x_n+\theta h_n)h_k, 0<\theta<1, $$ где $h_1,\ldots, h_n$ – при­ра­ще­ния ар­гу­мен­тов, $\partial F/\partial x_k$ – ча­ст­ная про­из­вод­ная функ­ции $F$ по пе­ре­мен­ной $x_k, k=1,…, n$.