КОВАРИАЦИО́ННАЯ МА́ТРИЦА

КОВАРИАЦИО́ННАЯ МА́ТРИЦА, мат­ри­ца, эле­мен­та­ми ко­то­рой яв­ля­ют­ся по­пар­ные ко­ва­риа­ции

ком­по­нент слу­чай­но­го век­то­ра. Пусть $X=(X_1,… X_n)$ – $n$-мер­ный слу­чай­ный век­тор, ком­по­нен­ты $X_1,… X_n$ ко­то­ро­го име­ют ко­неч­ные дис­пер­сии. К. м. век­то­ра $X$ на­зы­ва­ет­ся квад­рат­ная мат­ри­ца $||\sigma_{ij}||$, где $\sigma_{ij}=\text {cov} (X_i, X_j)$ – ко­ва­риа­ция слу­чай­ных ве­ли­чин $X_i$, и $X_j$, $i, j=1,… n$. Эле­мен­ты глав­ной диа­го­на­ли К. м. рав­ны дис­пер­си­ям ве­ли­чин $X_i, i=1,… n$.

К. м. – сим­мет­ри­че­ская, не­от­ри­ца­тель­но оп­ре­де­лён­ная мат­ри­ца, при­чём она по­ло­жи­тель­но оп­ре­де­ле­на то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда $X$ име­ет не­вы­ро­ж­ден­ное рас­пре­де­ле­ние. К. м. яв­ля­ет­ся диа­го­наль­ной то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда ком­по­нен­ты слу­чай­но­го век­то­ра $X$ по­пар­но не­кор­ре­ли­ро­ва­ны. Ка­ж­дая сим­мет­ри­че­ская не­от­ри­ца­тель­но оп­ре­де­лён­ная мат­ри­ца по­ряд­ка $n$ яв­ля­ет­ся К. м. не­ко­то­ро­го $n$-мер­но­го слу­чай­но­го век­то­ра.

По­ня­тие К. м. обоб­ща­ет по­ня­тие дис­пер­сии дей­ст­ви­тель­ной слу­чай­ной ве­ли­чи­ны на слу­чай­ные век­то­ры. Её ино­гда на­зы­ва­ют мат­ри­цей вто­рых мо­мен­тов.

К. м. тес­но свя­за­на с кор­ре­ля­ци­он­ной мат­ри­цей $||\rho_{ij}||$, где $\rho_{ij}$ – кор­ре­ля­ции ко­эф­фи­ци­ент

ме­ж­ду слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми $X_i$ и $X_j, i, j=1,… n$.