КАРДИНА́ЛЬНОЕ ЧИСЛО́

КАРДИНА́ЛЬНОЕ ЧИСЛО́ (мощ­ность по Кан­то­ру), ха­рак­те­ри­сти­ка мно­же­ст­ва, ко­то­рая не ме­ня­ет­ся при пе­ре­хо­де от это­го мно­же­ст­ва к лю­бо­му дру­го­му рав­но­мощ­но­му ему мно­же­ст­ву. При этом мно­же­ст­ва $A$ и $B$ на­зы­ва­ют­ся рав­но­мощ­ны­ми, ес­ли су­ще­ст­ву­ет вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие $f:A \to B$ с об­ла­стью оп­ре­де­ле­ния $A$ и мно­же­ст­вом зна­че­ний $B$. Г. Кан­тор (1878) оп­ре­де­лял К. ч. мно­же­ст­ва $A$ как та­кую его ха­рак­те­ри­сти­ку, ко­то­рая по­лу­ча­ет­ся по­сле аб­ст­ра­ги­ро­ва­ния от при­ро­ды эле­мен­тов мно­же­ст­ва $A$ и от их по­ряд­ка. Что­бы под­черк­нуть этот двой­ной акт аб­ст­ра­ги­ро­ва­ния, Кан­тор для обо­зна­че­ния К. ч. мно­же­ст­ва $A$ ис­поль­зо­вал сим­вол $\bar{\bar A}$. Из др. обо­зна­че­ний К. ч. мно­же­ст­ва $A$ наи­бо­лее упот­ре­би­тель­ны сим­во­лы card $A$ и $|A|$. Ес­ли $A$ – ко­неч­ное мно­же­ст­во, со­дер­жа­щее $n$ эле­мен­тов, то card $A=n$. Ес­ли N – мно­же­ст­во всех на­ту­раль­ных чи­сел (оно яв­ля­ет­ся счёт­ным мно­же­ст­вом), то card N обо­зна­ча­ет­ся $\boldsymbol \aleph_0$. Ес­ли R – мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел (оно име­ет мощ­ность кон­ти­нуу­ма), то card R обо­зна­ча­ет­ся $\mathfrak {c}$. Мно­же­ст­во $2^A$ всех под­мно­жеств мно­же­ст­ва $A$ не рав­но­мощ­но ни са­мо­му $A$, ни его под­мно­же­ст­ву (тео­ре­ма Кан­то­ра). В ча­ст­но­сти, ни­ка­кие два из мно­жеств $$A,2^A,2{^2}^{^A},\dots\quad\tag{*}$$не рав­но­мощ­ны. При $A=$ N по­лу­ча­ет­ся бес­ко­неч­но мно­го раз­лич­ных К. ч. Дру­гие К. ч. по­лу­ча­ют­ся, ес­ли обо­зна­чить $Q$ объ­е­ди­не­ние мно­жеств, вхо­дя­щих в (*), и по­стро­ить по­сле­до­ва­тель­ность, ана­ло­гич­ную (*), взяв вме­сто $A$ $Q$. Этот про­цесс мож­но про­дол­жать бес­ко­неч­но.