ИНВАРИА́НТ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ИНВАРИА́НТ (от лат. invarians, род. п. invariantis – неизменяющийся), отображение $φ$ совокупности объектов $M$, на которой задано отношение эквивалентности $ρ$, в другую совокупность $N$, постоянное на каждом из классов эквивалентности $M$ по $ρ$ (точнее, $φ$ – И. отношения эквивалентности $ρ$ на $M$). Если $X$ – объект из $M$, то говорят, что $φ(X)$ – И. объекта $X$. Понятие И. является одним из важнейших в математике, поскольку оно связано с задачами классификации объектов того или иного типа. По существу, цель всякой математич. классификации – построение некоторой полной системы И. (по возможности наиболее простой), т. е. такой системы, которая разделяет любые два неэквивалентных объекта из рассматриваемой совокупности. Термин «И.» ввёл Дж. Сильвестр (1851).
Простейшими примерами И. являются т. н. И. нераспадающихся кривых 2-го порядка на евклидовой плоскости. Пусть $M$ – множество всех таких кривых, а $ρ$ – отношение эквивалентности на $M$, определённое правилом: $\text{Γ}∈M$ эквивалентна $\text{Γ′}∈M$ тогда и только тогда, когда $\text{Γ′}$ получается из $\text{Γ}$ движением (т. е. изометрией) плоскости. Если $$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0$$
– уравнение кривой $\text{Γ}∈M$ в к.-л. декартовой системе координат, то числа $$σ(\text{Γ})Δ(\text{Γ})^{–1/3}\, и\, σ(\text{Γ})Δ(\text{Γ})^{–2/3},\, \text{где}$$ $$σ(\text{Γ}) = A + C,\, δ(\text{Γ}) =\begin{vmatrix} A&B \\ B&C \end{vmatrix},$$ $$Δ(\text{Γ})=\begin{vmatrix} A&B&D \\ B&C&E \\ D&E&F \end{vmatrix},$$
не зависят от выбора системы координат (хотя само уравнение линии $\text{Γ}$ – зависит) и кривые $\text{Γ},\, \text{Γ′}∈M$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $$σ(\text{Γ})Δ(\text{Γ})^{–1/3} = σ(\text{Γ′})Δ(\text{Γ′})^{–1/3}$$ $$δ(\text{Γ})Δ(\text{Γ})^{–2/3} = δ(\text{Γ′})Δ(\text{Γ′})^{–2/3}.$$
Иначе говоря, отображения $σΔ^{–1/3}$ и $δΔ^{–2/3}$ множества $M$ в множество $N$ всех действит. чисел являются И. отношения эквивалентности $ρ$ (и, более того, образуют полную систему И.); эти отображения и называют И. нераспадающихся плоских кривых 2-го порядка. Значения этих И. на конкретной линии позволяют определить тип этой кривой (эллипс, гипербола, парабола).
Другой классич. пример – двойное отношение упорядоченного набора четырёх разл. точек, лежащих на одной прямой в действительном проективном пространстве. Двойное отношение не изменится, если подвергнуть эти точки проективному преобразованию всего пространства. В этом примере $M$ – множество упорядоченных четвёрок точек проективного пространства, лежащих на одной прямой; отношение эквивалентности $ρ$ на $M$ определяется по правилу: наборы $F,\, F′∈M$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $F$ переводится в $F′$ проективным преобразованием пространства. Взятие двойного отношения определяет изображение $M$ в множество действительных чисел $N$. Это отображение является И. отношения $ρ$ (и, более того, образует полную систему И.); именно в этом смысле говорят, что двойное отношение – И. четырёх точек (относительно проективной группы). См. также Инвариантов теория.