ИНВАРИА́НТ

ИНВАРИА́НТ (от лат. invarians, род. п. invariantis – не­из­ме­няю­щий­ся), ото­бра­же­ние $φ$ со­во­куп­но­сти объ­ек­тов $M$, на ко­то­рой за­да­но от­но­ше­ние эк­ви­ва­лент­но­сти $ρ$, в дру­гую со­во­куп­ность $N$, по­сто­ян­ное на ка­ж­дом из клас­сов эк­ви­ва­лент­но­сти $M$ по $ρ$ (точ­нее, $φ$ – И. от­но­ше­ния эк­ви­ва­лент­но­сти $ρ$ на $M$). Ес­ли $X$ – объ­ект из $M$, то го­во­рят, что $φ(X)$ – И. объ­ек­та $X$. По­ня­тие И. яв­ля­ет­ся од­ним из важ­ней­ших в ма­те­ма­ти­ке, по­сколь­ку оно свя­за­но с за­да­ча­ми клас­си­фи­ка­ции объ­ек­тов то­го или ино­го ти­па. По су­ще­ст­ву, цель вся­кой ма­те­ма­тич. клас­си­фи­ка­ции – по­строе­ние не­ко­то­рой пол­ной сис­те­мы И. (по воз­мож­но­сти наи­бо­лее про­стой), т. е. та­кой сис­те­мы, ко­то­рая раз­де­ля­ет лю­бые два не­эк­ви­ва­лент­ных объ­ек­та из рас­смат­ри­вае­мой со­во­куп­но­сти. Тер­мин «И.» ввёл Дж. Силь­вестр

(1851).

Про­стей­ши­ми при­ме­ра­ми И. яв­ля­ют­ся т. н. И. не­рас­па­даю­щих­ся кри­вых 2-го по­ряд­ка на евк­ли­до­вой плос­ко­сти. Пусть $M$ – мно­же­ст­во всех та­ких кри­вых, а $ρ$ – от­но­ше­ние эк­ви­ва­лент­но­сти на $M$, оп­ре­де­лён­ное пра­ви­лом: $\text{Γ}∈M$ эк­ви­ва­лент­на $\text{Γ′}∈M$ то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда $\text{Γ′}$ по­лу­ча­ет­ся из $\text{Γ}$ дви­же­ни­ем (т. е. изо­мет­ри­ей) плос­ко­сти. Ес­ли

$$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0$$

 – урав­не­ние кри­вой $\text{Γ}∈M$ в к.-л. де­кар­то­вой сис­те­ме ко­ор­ди­нат, то чис­ла 

$$σ(\text{Γ})Δ(\text{Γ})^{–1/3}\, и\, σ(\text{Γ})Δ(\text{Γ})^{–2/3},\, \text{где}$$   $$σ(\text{Γ}) = A + C,\, δ(\text{Γ}) =\begin{vmatrix} A&B \\ B&C \end{vmatrix},$$    $$Δ(\text{Γ})=\begin{vmatrix} A&B&D \\ B&C&E \\ D&E&F \end{vmatrix},$$

 

не за­ви­сят от вы­бо­ра сис­те­мы ко­ор­ди­нат (хо­тя са­мо урав­не­ние ли­нии $\text{Γ}$ – за­ви­сит) и кри­вые $\text{Γ},\, \text{Γ′}∈M$ эк­ви­ва­лент­ны то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда

$$σ(\text{Γ})Δ(\text{Γ})^{–1/3} = σ(\text{Γ′})Δ(\text{Γ′})^{–1/3}$$   $$δ(\text{Γ})Δ(\text{Γ})^{–2/3} = δ(\text{Γ′})Δ(\text{Γ′})^{–2/3}.$$

Ина­че го­во­ря, ото­бра­же­ния $σΔ^{–1/3}$ и $δΔ^{–2/3}$ мно­же­ст­ва $M$ в мно­же­ст­во $N$ всех дей­ст­вит. чи­сел яв­ля­ют­ся И. от­но­ше­ния эк­ви­ва­лент­но­сти $ρ$ (и, бо­лее то­го, об­ра­зу­ют пол­ную сис­те­му И.); эти ото­бра­же­ния и на­зы­ва­ют И. не­рас­па­даю­щих­ся пло­ских кри­вых 2-го по­ряд­ка. Зна­че­ния этих И. на кон­крет­ной ли­нии по­зво­ля­ют оп­ре­де­лить тип этой кри­вой (эл­липс, ги­пер­бо­ла, па­ра­бо­ла).

Дру­гой клас­сич. при­мер – двой­ное от­но­ше­ние

упо­ря­до­чен­но­го на­бо­ра че­ты­рёх разл. то­чек, ле­жа­щих на од­ной пря­мой в дей­ст­ви­тель­ном про­ек­тив­ном про­стран­ст­ве. Двой­ное от­но­ше­ние не из­ме­нит­ся, ес­ли под­верг­нуть эти точ­ки про­ек­тив­но­му пре­об­ра­зо­ва­нию все­го про­стран­ст­ва. В этом при­ме­ре $M$ – мно­же­ст­во упо­ря­до­чен­ных чет­вё­рок то­чек про­ек­тив­но­го про­стран­ст­ва, ле­жа­щих на од­ной пря­мой; от­но­ше­ние эк­ви­ва­лент­но­сти $ρ$ на $M$ оп­ре­де­ля­ет­ся по пра­ви­лу: на­бо­ры $F,\, F′∈M$ эк­ви­ва­лент­ны то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда $F$ пе­ре­во­дит­ся в $F′$ про­ек­тив­ным пре­об­ра­зо­ва­ни­ем про­стран­ст­ва. Взя­тие двой­но­го от­но­ше­ния оп­ре­де­ля­ет изо­бра­же­ние $M$ в мно­же­ст­во дей­ст­ви­тель­ных чи­сел $N$. Это ото­бра­же­ние яв­ля­ет­ся И. от­но­ше­ния $ρ$ (и, бо­лее то­го, об­ра­зу­ет пол­ную сис­те­му И.); имен­но в этом смыс­ле го­во­рят, что двой­ное от­но­ше­ние – И. че­ты­рёх то­чек (от­но­си­тель­но про­ек­тив­ной груп­пы). См. так­же Ин­ва­ри­ан­тов тео­рия

 >>

.