ДВОЙНО́Е ОТНОШЕ́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ДВОЙНО́Е ОТНОШЕ́НИЕ четырёх точек $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ на прямой, число, обозначаемое символом ($M_1M_2M_3M_4$) и равное $$\frac {M_1M_3}{M_3M_2}: \frac {M_1M_4}{M_4M_2},$$ где $M_iM_j$, $i$, $j=$1, 2, 3, 4, $i\neq j$, означает длину отрезка, соединяющего точки $M_i$и $M_j$. При этом учитываются направления отрезков; напр., отношение$M_1M_3/M_3M_2$ считается положительным, если направления отрезков $M_1M_3$ и $M_3M_2$ совпадают, и отрицательным в противном случае. Д. о. зависит от порядка нумерации точек, который может отличаться от порядка следования точек на прямой.
Наряду с Д. о. четырёх точек рассматривается Д. о. четырёх прямых $m_1, m_2, m_3, m_4$, проходящих через общую точку $O$. Это отношение обозначается символом ($m_1m_2m_3m_4$) и равно $$\frac {\sin(m_1m_3)}{\sin(m_3m_2)}:\frac {\sin(m_1m_4)}{\sin(m_4m_2)},$$ причём углы ($m_im_j$) между прямыми $m_i$ и $m_j$, $i$, $j=$1, 2, 3, 4, $i \neq j$, рассматриваются со знаками.
Если точки $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ лежат на прямых $m_1$, $m_2$, $m_3$, $m_4$ (рис. 1), то $(M_1M_2M_3M_4)$=$(m_1m_2m_3m_4)$. Если точки $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ и $M'_1$, $M'_2$, $M'_3$, $M'_4$ получены пересечением одной четвёрки прямых $m_1$, $m_2$, $m_3$, $m_4$ двумя разл. прямыми, то $(M'_1M'_2M'_3M'_4)$= $(M_1M_2M_3M_4)$. Если же прямые $m_1$, $m_2$, $m_3$, $m_4$ и $m'_1$, $m'_2$, $m'_3$, $m'_4$ проектируют одну четвёрку точек $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ (рис. 2), то $(m'_1m'_2m'_3m'_4)$= $(m_1m_2m_3m_4)$. Д. о. не меняется при любом проективном преобразовании, т. е. является инвариантом этого преобразования, поэтому Д. о. важны в проективной геометрии. Особую роль играют четвёрки точек и прямых, для которых Д. о. равно –1. Такие четвёрки называются гармоническими.