ПРОЕКТИ́ВНАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ПРОЕКТИ́ВНАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ, раздел геометрии, изучающий проективные свойства фигур, т. е. те свойства, которые не меняются при проективных преобразованиях, напр. при центральном проектировании. Параллельность и перпендикулярность прямых, равенство отрезков и углов суть непроективные свойства, поскольку пересекающиеся прямые могут спроектироваться в параллельные, равные отрезки – в неравные и т. д. На рис. 1 показано центр. проектирование из точки S окружности, которая лежит в плоскости П, на плоскость П′: пересекающиеся прямые AQ и AP проектируются в параллельные прямые p и q, окружность проектируется в параболу, касательная QN к окружности проектируется в касательную к параболе. Проективными свойствами являются, напр., расположение точек на одной прямой (коллинеарность), гармонич. расположение точек на прямой (см. Двойное отношение), порядок и класс алгебраич. кривой, касание прямой и любой линии, разделённость (см. ниже).
При проектировании точек одной плоскости на другую не каждая точка плоскости П имеет образ на плоскости П′ и не каждая точка П′ имеет прообраз на П. Это обстоятельство привело к необходимости присоединения к евклидовой плоскости т. н. бесконечно удалённых (несобственных) точек. Такое присоединение приводит к понятию проективной плоскости. Евклидова плоскость, дополненная несобственными элементами, называется действительной проективной плоскостью. На ней через любые две разл. точки проходит (и притом только одна) прямая, и любые две разл. прямые имеют (и притом только одну) общую точку. Дополнение евклидовой плоскости до проективной приводит к тому, что проектирование становится взаимно однозначным преобразованием. Аналогичным образом из евклидова пространства получается проективное пространство.
Аксиоматич. задание действительной проективной плоскости может быть осуществлено разл. способами. Наиболее распространённая система аксиом получается видоизменением системы аксиом, предложенной Д. Гильбертом для обоснования евклидовой геометрии на плоскости. Проективная плоскость рассматривается как совокупность элементов двух родов: точек и прямых, между которыми устанавливаются отношения инцидентности и порядка, характеризуемые соответствующими аксиомами. Эта группа аксиом отличается от соответствующей группы аксиом евклидовой геометрии тем, что каждые две прямые на плоскости имеют общую точку и что на прямой имеется, по крайней мере, три разл. точки. В качестве осн. отношения порядка принимается разделённость двух пар точек, лежащих на одной прямой, или двух пар прямых, проходящих через одну точку. На рис. 2 пара точек A и C разделяет пару точек B и D, пара прямых AA′ и CC′ разделяет пару прямых BB′ и DD′. Разделённость также описывается своей системой аксиом. Иногда к этим аксиомам добавляются аксиомы непрерывности.
Существуют интерпретации проективной плоскости, не привлекающие бесконечно удалённых элементов. Напр., пусть E3 – евклидово пространство и O – точка в нём. Обозначим через П множество прямых, проходящих через O; точкой в П назовём евклидову прямую, проходящую через O, а прямой в П – множество евклидовых прямых, проходящих через O и лежащих в одной плоскости. Тогда П удовлетворяет аксиомам проективной плоскости.
Большое значение в П. г. имеет принцип двойственности. Осн. понятия проективной плоскости – точка и прямая связаны между собой также одним из осн. понятий П. г. – инцидентностью. Точка и прямая инцидентны, если точка принадлежит прямой или (что то же самое) прямая проходит через точку. Принцип двойственности утверждает, что если верно к.-л. предложение, касающееся точек, прямых и отношения инцидентности между ними, то верно и т. н. двойственное предложение, получаемое из данного, если поменять слова «прямая» и «точка» (для проективного пространства слова «плоскость» и «точка»). Напр., двойственны предложения:
двум различным точкам инцидентна прямая (и притом только одна),
двум различным прямым инцидентна точка (и притом только одна).
Принцип двойственности отражает фундам. свойство проективной плоскости: прямые и точки на ней – равноправные геометрич. объекты.
Важную роль в П. г. играет Дезарга предложение. В частности, его выполнение необходимо и достаточно для введения координат на проективной плоскости проективными средствами.
Основы П. г. заложены в 17 в. Ж. Дезаргом (в связи с развитием учения о перспективе) и Б. Паскалем (в связи с изучением некоторых свойств конических сечений). Большое значение для последующего развития П. г. имели работы Г. Монжа. Как самостоят. дисциплина П. г. была изложена Ж. Понселе (нач. 19 в.). Заслуга Понселе заключалась в выделении проективных свойств фигур в отд. класс и установлении соответствий между метрическими и проективными свойствами фигур. К этому же периоду относятся работы франц. математика Ш. Бриашона. Дальнейшее развитие П. г. получила в работах швейц. математика Я. Штейнера и франц. математика М. Шаля. Большую роль в развитии П. г. сыграли работы нем. математика К. Штаудта, которыми были также намечены контуры аксиоматич. построения П. г. Все эти геометры стремились доказывать теоремы П. г. синтетич. методом, положив в основу изложения проективные свойства фигур. Аналитич. направление в П. г. было намечено работами А. Мёбиуса. Влияние на развитие П. г. оказали работы Н. И. Лобачевского по созданию неевклидовой геометрии, позволившие в дальнейшем А. Кэли и Ф. Клейну рассмотреть разл. геометрич. системы с точки зрения проективной геометрии.
Некоторые положения и факты П. г. применяются в теории статистич. решений, в квантовой теории поля, в конструировании печатных схем (через теорию графов).
