ИЗОПЕРИМЕТРИ́ЧЕСКОЕ НЕРА́ВЕНСТВО

ИЗОПЕРИМЕТРИ́ЧЕСКОЕ НЕРА́ВЕН­СТ­ВО, не­ра­вен­ст­во ме­ж­ду объ­ё­мом $V$ об­лас­ти в евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве $E^n,\, n⩾2$, и $(n–1)$-мер­ной пло­ща­дью $F$ ги­пер­по­верх­но­сти, ог­ра­ни­чи­ваю­щей эту об­ласть: $$n^nv_nV^{n–1}⩽Fn,$$где $v_n$ – объ­ём еди­нич­но­го n-мер­но­го ша­ра. Так, напр., $4πS⩽F^2$, где $S$ – пло­щадь, а $F$ – пе­ри­метр пло­ской об­лас­ти. Ра­вен­ст­во име­ет ме­сто толь­ко для $n$-мер­но­го ша­ра. Для $n=2$ и $n=3$ И. н. из­вест­но с глу­бо­кой древ­но­сти, оно да­ёт ре­ше­ние про­стей­ших изо­пе­ри­мет­рич. за­дач: на плос­ко­сти сре­ди всех кри­вых за­дан­ной дли­ны най­ти та­кую, ко­то­рая ог­ра­ни­чи­ва­ет макс. пло­щадь, и в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве сре­ди всех по­верх­но­стей за­дан­ной пло­ща­ди най­ти та­кую, ко­то­рая ог­ра­ни­чи­ва­ет макс. объ­ём. Ре­ше­ни­ем пер­вой из этих за­дач яв­ля­ет­ся ок­руж­ность, а вто­рой – сфе­ра. Стро­гое до­ка­за­тель­ство И. н. для $n=2$ да­но нем. учё­ным Ф. Эд­ле­ром (1882), для $n=3$ – Г. Швар­цем (1890) и для всех $n⩾2$ – Л. А. Люс­тер­ни­ком (1935).