ДОСТА́ТОЧНАЯ СТАТИ́СТИКА

ДОСТА́ТОЧНАЯ СТАТИ́СТИКА, на­бор функ­ций (на­зы­вае­мых ста­ти­сти­ка­ми) от ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний над слу­чай­ной ве­ли­чи­ной, ко­то­рый со­дер­жит ту же ин­фор­ма­цию о па­ра­мет­ре се­мей­ст­ва рас­пре­де­ле­ний ве­ро­ят­но­стей этой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны, что и са­ми ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний. Для се­мей­ст­ва рас­пре­де­ле­ний мо­жет су­ще­ст­во­вать неск. Д. с.; в ча­ст­но­сти, про­стей­ши­ми Д. с. яв­ля­ют­ся са­ми ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний и со­от­вет­ст­вую­щий им ва­риа­ци­он­ный ряд. Наи­боль­ший ин­те­рес пред­став­ля­ют те Д. с., ко­то­рые по­зво­ля­ют без по­те­ри ин­фор­ма­ции за­ме­нить всю со­во­куп­ность ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний не­боль­шим чис­лом ха­рак­те­ри­стик. Т. о., пе­ре­ход от на­блю­де­ний к Д. с. име­ет це­лью со­кра­ще­ние чис­ла ста­ти­стич. дан­ных, при этом же­ла­тель­но это со­кра­ще­ние сде­лать мак­си­маль­но воз­мож­ным, т. е. най­ти т. н. ми­ни­маль­ную Д. с. Прак­тич. спо­со­бы на­хо­ж­де­ния ми­ни­маль­ных Д. с. име­ют боль­шое зна­че­ние в тео­рии ста­ти­сти­че­ских оце­нок, т. к. с по­мо­щью ми­ни­маль­ных Д. с. мож­но най­ти наи­луч­шие оцен­ки па­ра­мет­ра. Напр., пусть $X_1, …, X_n$ – не­за­ви­си­мые ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний с од­ним и тем же рас­пре­де­ле­ни­ем, за­ви­ся­щим от не­из­вест­но­го па­ра­мет­ра $θ$. Ес­ли $X_1, …, X_n$ со­от­вет­ст­ву­ют Бер­нул­ли схе­ме ис­пы­та­ний, т. е. рас­пре­де­ле­ний $$P\{X_1=1\}=θ, P\{X_1=0\}=1-θ, 0<θ<1,$$ то Д. с. для па­ра­мет­ра $θ$ яв­ля­ет­ся час­то­та по­яв­ле­ния еди­ни­цы в по­сле­до­ва­тель­но­сти ис­пы­та­ний$$\hat\theta=\frac{1}{n}\sum\nolimits_{k=1}^nX_k.$$ Ес­ли $X_1, …, X_n$ нор­маль­но рас­пре­де­ле­ны с па­ра­мет­ром $θ=(a, σ^2)$, где $a$ – мате­ма­тич. ожи­да­ние, а $σ^2$ – дис­пер­сия, то Д. с. для па­ра­мет­ра $θ$ бу­дет ста­ти­сти­ка$(\bar{X},s^2),$ где$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum\nolimits^n_{k=1}X_k,\\s^2=\frac{1}{n-1}\sum\nolimits^n_{k=1}(X_k-\bar{X})^2.$$ Ве­ли­чи­ны $\hat\theta$ и $(\bar{X},s^2)$ яв­ля­ют­ся наи­луч­ши­ми не­сме­щён­ны­ми оцен­ка­ми со­от­вет­ст­вую­щих па­ра­мет­ров.