ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНЫЙ БИНО́М

ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНЫЙ БИНО́М, би­но­ми­аль­ный диф­фе­рен­ци­ал, вы­ра­же­ние ви­да $$x^m(a+bx^n)^pdx,$$где $a$ и $b$ – по­сто­ян­ные, от­лич­ные от ну­ля, а $m, n$ и $p$ – ра­цио­наль­ные чис­ла. Осн. за­да­ча для Д. б. со­сто­ит в том, что­бы ука­зать все слу­чаи его ин­тег­ри­руе­мо­сти, т. е. в том, что­бы най­ти те ус­ло­вия, на­ла­гае­мые на па­ра­мет­ры $m, n$ и $p$, при вы­пол­не­нии ко­то­рых не­оп­ре­де­лён­ный ин­те­грал от Д. б. $$\int x^m(a+bx^n)^pdx$$вы­ра­жа­ет­ся в ко­неч­ном ви­де че­рез эле­мен­тар­ные функ­ции.

Л. Эй­ле­ру бы­ли из­вест­ны три слу­чая ин­тег­ри­руе­мо­сти Д. б.: $p$ – це­лое чис­ло; $(m+1)/n$ – це­лое чис­ло; $(m+1)/n+p$ – це­лое чис­ло. П. Л. Че­бы­шев (1853) до­ка­зал, что во всех ос­таль­ных слу­ча­ях ин­те­грал от Д. б. не вы­ра­жа­ет­ся че­рез эле­мен­тар­ные функ­ции.