Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ВЕЛИЧИНА́

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 5. Москва, 2006, стр. 63

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: А. Н. Колмогоров

ВЕЛИЧИНА́, од­но из осн. ма­те­ма­тич. по­ня­тий, смысл ко­то­ро­го с раз­ви­ти­ем ма­те­ма­ти­ки под­вер­гал­ся ря­ду обоб­ще­ний.

В «На­ча­лах» Евк­ли­да бы­ли от­чёт­ли­во сфор­му­ли­ро­ва­ны свой­ст­ва В., на­зы­вае­мые те­перь (для от­ли­чия от даль­ней­ших обоб­ще­ний) по­ло­жи­тель­ны­ми ска­ляр­ны­ми ве­ли­чи­на­ми. Это пер­во­на­чаль­ное по­ня­тие В. яв­ля­ет­ся не­по­сред­ст­вен­ным обоб­ще­ни­ем кон­крет­ных по­ня­тий, в ча­ст­но­сти дли­ны, пло­ща­ди, объ­ё­ма, мас­сы и т. п. Ка­ж­дый кон­крет­ный род В. свя­зан с оп­ре­де­лён­ным спо­со­бом срав­не­ния со­от­вет­ст­вую­щих объ­ек­тов. Напр., в гео­мет­рии от­рез­ки срав­ни­ва­ют­ся при по­мо­щи на­ло­же­ния, и это срав­не­ние при­во­дит к по­ня­тию дли­ны: два от­рез­ка име­ют од­ну и ту же дли­ну, ес­ли при на­ло­же­нии они сов­па­да­ют; ес­ли же один от­ре­зок на­кла­ды­ва­ет­ся на часть дру­го­го, не по­кры­вая его це­ли­ком, то дли­на пер­во­го мень­ше дли­ны вто­ро­го. Для срав­не­ния пло­ских фи­гур по пло­ща­ди или про­стран­ст­вен­ных тел по объ­ё­му тре­бу­ют­ся бо­лее слож­ные приё­мы. В пре­де­лах сис­те­мы всех од­но­род­ных В. (т. е. в пре­де­лах всех длин, или всех пло­ща­дей, или всех объ­ё­мов) ус­та­нав­ли­ва­ет­ся от­но­ше­ние не­ра­вен­ст­ва: две В. $a$ и $b$ одно­го и то­го же ро­да или сов­па­да­ют ($a=b$), или пер­вая мень­ше вто­рой ($a < b$), или вто­рая мень­ше пер­вой ($b < a$). Для ка­ж­до­го ро­да ве­ли­чин (длин, пло­ща­дей, объ­ё­мов) оп­ре­де­ля­ет­ся опе­ра­ция сло­же­ния. В пре­де­лах ка­ж­дой из рас­смат­ри­вае­мых сис­тем од­но­род­ных по­ло­жи­тель­ных ска­ляр­ных В. от­но­ше­ние срав­не­ния ($a < b$) и опе­ра­ция сло­же­ния ($a+b=c$) об­ла­да­ют сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми:

1) для лю­бых $a$ и $b$ име­ет ме­сто од­но и толь­ко од­но из трёх со­от­но­ше­ний: или $a=b$, или $a < b$, или $b < a$;

2) ес­ли $a < b$ и $b < c$, то $a < c$ (тран­зи­тив­ность от­но­ше­ния);

3) для лю­бых $a$ и $b$ су­ще­ст­ву­ет од­но­знач­но оп­ре­де­лён­ная В. $c=a+b$ ;

4) для лю­бых $a$ и $b$ спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $a+b=b+a$ (ком­му­та­тив­ность сло­же­ния);

5) для лю­бых $a, b, c$ спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $a +$ ($b+$$\:c$) = ($a+$$\:b$) $+\:c$ (ас­со­циа­тив­ность сло­же­ния);

6) для лю­бых $a$ и $b$ спра­вед­ли­во со­отно­ше­ние $a\:$+$\:b > a$ (мо­но­тон­ность сло­же­ния);

7) ес­ли $a > b$, то су­ще­ст­ву­ет од­на и толь­ко од­на В. $c$, для ко­то­рой $b + c = a$ (воз­мож­ность вы­чи­та­ния);

8) для лю­бых $a$ и це­ло­го по­ло­жи­тель­но­го чис­ла $n$ су­ще­ст­ву­ет та­кая В. $b$, что $nb=a$ (воз­мож­ность де­ле­ния);

9) для лю­бых $a$ и $b$ су­ще­ст­ву­ет це­лое по­ло­жи­тель­ное чис­ло $n$ та­кое, что $a < nb$. Это свой­ст­во на­зы­ва­ет­ся ак­сио­мой Ев­док­са или ак­сио­мой Ар­хи­ме­да.

Свой­ст­во 9) вме­сте с бо­лее эле­мен­тар­ны­ми свой­ст­ва­ми 1) – 8) слу­жит ос­но­вой тео­рии из­ме­ре­ния В., раз­ви­той др.-греч. ма­те­ма­ти­ка­ми.

В ча­ст­но­сти, ес­ли взять к.-л. дли­ну $l$ за еди­нич­ную, то сис­те­ма $Q$ всех длин ви­да $lp / q$ – где $p\: и\: q$ це­лые по­ло­жи­тель­ные чис­ла, об­ла­да­ет свой­ст­ва­ми 1) – 9). Су­ще­ст­во­ва­ние не­со­из­ме­ри­мых от­рез­ков (от­кры­тие ко­то­рых при­пи­сы­ва­ет­ся Пи­фа­го­ру) по­ка­зы­ва­ет, что сис­те­ма $Q$ ещё не ох­ва­ты­ва­ет сис­те­мы $R$ всех воз­мож­ных зна­че­ний длин.

Что­бы по­лу­чить впол­не за­кон­чен­ную тео­рию В., к тре­бо­ва­ни­ям 1) – 9) на­до при­сое­ди­нить ту или иную до­пол­ни­тель­ную ак­сио­му не­пре­рыв­но­сти, напр.:

10) ес­ли по­сле­до­ва­тель­но­сти В. $a_1, a_2, ..., b_1, b_2, ...$ та­кие, что $a_1 < a_2 < < …< b_2 < b_1$ и $b_n - a_n < c$ для любой В. $c$ при дос­та­точ­но боль­шом номе­ре $n$, то су­ще­ст­ву­ет един­ст­вен­ная В. $x$, ко­то­рая боль­ше всех $a_n$ и мень­ше всех $b_n$.

Свой­ст­ва 1) – 10) оп­ре­де­ля­ют совр. по­ня­тие сис­те­мы по­ло­жи­тель­ных ска­ляр­ных В. Ес­ли в та­кой сис­те­ме вы­брать к.-л. В. $l$ за еди­ни­цу из­ме­ре­ния, то все ос­таль­ные В. сис­те­мы од­но­знач­но пред­став­ля­ют­ся в ви­де $a=αl$, где $α$ – по­ло­жи­тель­ное дей­ст­ви­тель­ное чис­ло.

Рас­смот­ре­ние на­прав­лен­ных от­рез­ков на пря­мой, ско­ро­стей, ко­то­рые мо­гут иметь два про­ти­во­по­лож­ных на­прав­ле­ния, и то­му по­доб­ных В. при­во­дит к обоб­ще­нию по­ня­тия ска­ляр­ной В., яв­ляю­ще­го­ся ос­нов­ным в ма­те­ма­ти­ке, а так­же в ме­ха­ни­ке и фи­зи­ке. Сис­те­ма ска­ляр­ных В. в этом по­ни­ма­нии вклю­ча­ет в се­бя, кро­ме по­ло­жи­тель­ных В., нуль и от­ри­ца­тель­ные В. Вы­би­рая в та­кой сис­те­ме к.-л. по­ло­жи­тель­ную В. $l$ за еди­ни­цу из­ме­ре­ния, вы­ра­жа­ют все ос­таль­ные В. сис­те­мы в ви­де $a=αl$, где $α$ – дей­ст­ви­тель­ное чис­ло (по­ло­жи­тель­ное, от­ри­ца­тель­ное или рав­ное ну­лю).

В бо­лее об­щем смыс­ле ве­ли­чи­на­ми на­зы­ва­ют век­то­ры, тен­зо­ры и др. не­ска­ляр­ные ве­ли­чи­ны. Та­кие В. мож­но скла­ды­вать, но от­но­ше­ние $a < b$ для них те­ря­ет смысл.

В не­ко­то­рых ма­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ни­ях ис­поль­зу­ют­ся т. н. не­ар­хи­ме­до­вы В., ко­то­рые име­ют с обыч­ны­ми ска­ляр­ны­ми В. то об­щее, что для них со­хра­ня­ют­ся обыч­ные свой­ст­ва не­ра­венств, но ак­сио­ма 9) не вы­пол­ня­ет­ся.

Сис­те­ма дей­ст­ви­тель­ных по­ло­жи­тель­ных чи­сел удов­ле­тво­ря­ет пе­ре­чис­лен­ным вы­ше свой­ст­вам 1) – 10), а сис­те­ма всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел об­ла­да­ет все­ми свой­ст­ва­ми ска­ляр­ных В., по­это­му впол­не за­кон­но са­ми дей­ст­ви­тель­ные чис­ла на­звать ве­ли­чи­на­ми.

См. так­же Пе­ре­мен­ные и по­сто­ян­ные ве­ли­чи­ны.

Лит.: Ле­бег А.  Об из­ме­ре­нии ве­ли­чин. 2-е изд. М., 1960.

Вернуться к началу