АСИМПТОТИ́ЧЕСКИЙ РЯД
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
АСИМПТОТИ́ЧЕСКИЙ РЯД, ряд $$a_0(x)+a_1(x)+…+a_n(x)+…,$$ составленный из функций переменной $x$ таких, что при заданном изменении $x$ (напр., при $x→0$ или при $x→∞$) каждый следующий член этого ряда есть бесконечно малая величина относительно предыдущего члена, т. е. $a_{n+1}(x)=o(a_n(x)), n=0, 1, …$ (см. Бесконечно большие и бесконечно малые величины).
Такой ряд называется асимптотическим разложением функции $a(x)$ при $x→x_0$, если для любого $n=0, 1, 2, ...$ $$a(x)=\sum_{k=0}^n a_k(x)+o(a_n(x))$$ при $x→x_0$. В этом случае пишут $a(x)≃\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x)$. Наряду с символом $≃$ употребляется также символ $∼$.
Примером асимптотич. разложения является Тейлора формула $$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac 1{k \ !}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n),$$ где $f^{(0)}(x)=f(x), f^{(k)}(x)$ – $k$-я производная функции $f(x), k=1, 2, ..., n,$ которая даёт степенное асимптотич. разложение $$f(x)≃\sum_{k=0}^n \frac 1{k \ !}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k$$ гладкой функции $f(x)$ при $x→x_0$.
А. р. не обязательно сходится. Напр., ряд $1-1!x+2!x^2-3!x^3+…$ является А. р. при $x→0$, но расходится при каждом $x≠0$; ряд с общим членом $a_n=n!t^{-n} \text {exp} \ t^2$ является А. р. при $t→∞$, хотя всюду расходится, а его члены суть бесконечно большие при $t→∞$. В отличие от случая сходящихся рядов, где рассматривается абсолютная погрешность приближения, в асимптотич. разложениях важна относит. погрешность.
А. р., как и сходящиеся ряды, широко используются как в самой математике, так и в её естеств.-науч. приложениях. Частичная сумма ряда обычно даёт удобное приближение исследуемой функции. А. р. и разложения часто возникают при наличии в задаче малого или большого параметра.
Отд. асимптотич. разложения использовались в 18 в. Строгое понятие А. р. введено А. Пуанкаре (1886) в связи с задачами небесной механики.