БЕСКОНЕ́ЧНО БОЛЬШИ́Е И БЕСКОНЕ́ЧНО МА́ЛЫЕ ВЕЛИЧИ́НЫ

БЕСКОНЕ́ЧНО БОЛЬШИ́Е И БЕС­КО­НЕ́ЧНО МА́ЛЫЕ ВЕЛИЧИ́НЫ, пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра, имею­щие, со­от­вет­ст­вен­но, бес­ко­неч­ный и ну­ле­вой пре­де­лы

, ко­гда па­ра­метр не­ог­ра­ни­чен­но при­бли­жа­ет­ся к не­ко­то­рому пре­де­лу. При ис­поль­зо­ва­нии этих по­ня­тий сло­во «ве­ли­чи­ны» час­то опус­ка­ют. Так, функ­цию $f(x)$ на­зы­ва­ют беско­неч­но ма­лой при $x→x_0$, ес­ли $\lim\limits_{x→x_0}f(x) = 0$. Ес­ли пре­дел $\lim\limits_{x→x_0}f(x)$ равен чис­лу $a$, то раз­ность $f(x)-a$ яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­но ма­лой при $x→x_0$.

Ес­ли для функ­ций $f(x)$ и $g(x)$ вы­пол­ня­ет­ся со­от­но­ше­ние $\lim\limits_{x→x_0}f(x)/g(x)=0$, то функ­цию $f(x)$ на­зы­ва­ют бес­ко­неч­но ма­лой от­но­си­тель­но $g(x)$ при $x→x_0$ и пи­шут $f(x)=o(g(x))$ при $x→x_0$ (чи­тает­ся: $f(x)$ есть $o$-ма­лое от $g(x)$ при $x→x_0$). Ес­ли при этом $g(x)$ яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­но ма­лой при $x→x_0$, то $f(x)$ на­зы­ва­ют бес­ко­неч­но ма­лой бо­лее вы­со­ко­го по­ряд­ка, чем $g(x)$, при $x→x_0$.

По­ня­тие бес­ко­неч­но ма­лой яв­ля­ет­ся од­ним из ос­нов­ных в обос­но­ва­нии, по­строе­нии и при­ло­же­ни­ях к за­да­чам ес­те­ст­во­зна­ния ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за

, ко­то­рый на­зы­ва­ют так­же ана­ли­зом (или ис­чис­ле­ни­ем) бес­ко­неч­но ма­лых.

Ес­ли функ­ция $f(x)$ при $x→x_0$ име­ет бес­ко­неч­ный пре­дел, то $f(x)$ на­зы­ва­ют бес­ко­неч­но боль­шой при $x→x_0$. Ес­ли функ­ция $f(x)$ – бес­ко­неч­но боль­шая при $x→x_0$, то $1/f(x)$ – бес­ко­неч­но ма­лая при $x→x_0$.