Математи́ческий ана́лиз, раздел математики, в котором переменные величины (функции и их обобщения) изучаются с использованием пределов. Понятие предела связано с понятием бесконечно малой величины, и иногда говорят, что математический анализ изучает функции и их обобщения с использованием метода бесконечно малых. Старое название математического анализа – «Анализ бесконечно малых», точнее было бы: анализ посредством бесконечно малых. В классическом математическом анализе объектами изучения являются прежде всего функции. Развитие математического анализа привело к возможности изучения с помощью его методов более сложных объектов, чем функции, например функционалов и операторов. В природе и технике всюду встречаются движения и процессы, которые описываются функциями; законы и явления природы также описываются функциями. Отсюда следует важность математического анализа как средства изучения функций.

Математический анализ в широком понимании этого термина охватывает весьма большyю часть математики. В него входят дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, теория функций действительного переменного, комплексный анализ, приближение функций, теория дифференциальных уравнений, теория интегральных уравнений, дифференциальная геометрия, вариационное исчисление, функциональный анализ и некоторые другие математические дисциплины. Современные теория чисел и теория вероятностей применяют и развивают методы математического анализа. Иногда термин «математический анализ» употребляют только для основ математического анализа, объединяющих в себе теорию действительных чисел, теорию пределов, теорию рядов, дифференциальное и интегральное исчисление и их непосредственные приложения, такие как теория максимумов и минимумов, теория неявных функций, ряды Фурье, интегралы Фурье.

Функция

В математическом анализе исходят из определения функции, которое в случае числовых функций одного переменного формулируется следующим образом: если каждому числу $x$ из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число $y$, то этим определена функция $y=f(x)$ переменного $x$, называемого аргументом функции. Аналогично определяются функции $n$ переменных $f(x) =f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, где $x= (x_1,x_2,\ldots,x_n)$ – точки $n$-мерного пространства, рассматривают также функции $f(x)=f(x_1,x_2,\ldots)$ точек $x=(x_1,x_2,\ldots)$ бесконечномерных пространств, такие функции чаще называют функционалами.

Элементарные функции

Фундаментальное значение в математическом анализе имеют элементарные функции, ими, в частности, приближают функции более сложной природы. Элементарные функции рассматривают не только для действительных, но и для компле́ксных аргументов.

Действительное число

Изучение функций базируется на понятии действительного числа, которое окончательно сформировалось в конце 19 в. В частности, была установлена логически безупречная связь между числами и точками прямой, приведшая к формальному обоснованию идей Р. Декарта (середина 17 в.), который ввёл в математику прямоугольную систему координат и представление функций графиками.

Предел

В математическом анализе при изучении функций используется предельный переход, с помощью которого определяются различные пределы, например предел последовательности и предел функции. Эти понятия окончательно сформировались только в 19 в., хотя представление о них имели ещё древние греки. Так, Архимед умел вычислять площадь сегмента параболы при помощи процесса, который сейчас называется предельным переходом.

Непрерывные функции

Важный класс функций, изучаемых в математическом анализе, составляют непрерывные функции. Одно из возможных определений этого понятия состоит в следующем: функция $y=f(x)$ одного переменного $x$, заданная на интервале $(a,b)$, называется непрерывной в точке $x$, $x∈(a,b)$, если$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y = 0,$$где $Δy=f(x+Δx)-f(x)$. Функция называется непрерывной на интервале $(a,b)$, если она непрерывна во всех его точках; график непрерывной функции представляет собой кривую, непрерывную в обыденном понимании этого слова.

Производная и дифференциал

Среди непрерывных функций выделяются функции, имеющие производную. Производная функции $y=f(x)$, $a < x < b$, в точке $x$ – это скорость изменения $f$ в точке $x$, т. е. предел

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x},\tag 1$$если он существует, обозначаемый обычно $f'(x)$. Если $y$ – координата в момент времени $x$ точки, движущейся по оси ординат, то $f'(x)$ – мгновенная скорость точки при данном значении $x$.

По знаку производной $f'(x)$ можно судить о характере изменения $f(x)$: если $f'(x) > 0$ (или $f'(x) < 0$) на интервале $(c,d)$, принадлежащем $(a,b)$, то функция $f$ возрастает (соответственно, убывает) на интервале $(c,d)$. Если функция $f$ в точке $x_0$, $a < x_0 < b$, достигает экстремума (максимума или минимума) и имеет в этой точке производную, то $f'(x_0)=0$, иначе говоря, скорость изменения $f(x)$ при $x=x_0$ равна нулю.

Равенство (1) можно заменить эквивалентным равенством $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+ \varepsilon (\Delta x),$$или

$$Δy=f'(x)Δx+Δxε(Δx),$$где $ε(Δx)→0$ при $Δx→0$, т. е. $ε(Δx)$ есть бесконечно малая, когда $Δx→0$. Т. о., если функция $f$ имеет производную в точке $x$, то приращение $f$ в этой точке можно представить в виде суммы двух слагаемых. Первое из них,

$$dy =f'(x)Δx,\tag 2$$есть линейная функция от $Δx$ (пропорциональная $Δx$), а второе стремится к нулю быстрее, чем $Δx$. Величина (2) называется дифференциалом функции, соответствующим приращению $Δx$. При малых $Δx$ можно считать $Δy$ приближённо равным $dy$. Приведённые рассуждения о дифференциале характерны для всего математического анализа. Они распространяются на функции многих переменных и на функционалы.

Интеграл

Наряду с производной, фундаментальное значение в математическом анализе имеет понятие интеграла. Говорят, что функция $F(x)$ является первообразной функции $f(x)$на интервале $(a,b)$, если на этом интервале $F'(x)=f(x)$. Неопределённым интегралом от функции $f(x)$ на интервале $(a,b)$ называется произвольная первообразная функции $f(x)$ на этом интервале. Его обозначают $$\int f(x)\,dx.$$Определённым интегралом (Римана) от функции $f$ на отрезке $[a,b]$ называется предел

$$\lim_{}\sum_{j=0}^{N-1}f(\xi _j)(x_{j+1}-x_j)\tag 3$$при $\max_j(x_{j+1}-x_j)→0$. Здесь

$$a=x_0 < x_1 <\ldots< x_{N-1} < x_N=b, \quad x_j ⩽ ξ_j ⩽ x_{j+1}.$$Этот предел обозначается$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx.$$Если функция $f(x)$ положительна и непрерывна на отрезке $[a,b]$, то интеграл от неё на этом отрезке равен площади фигуры, ограниченной кривой $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. О существовании предела $(3)$ и о других определениях интеграла см. в ст. Интеграл.

Формула Ньютона – Лейбница. Между производной и интегралом имеется связь, выражаемая формулой Ньютона – Лейбница$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$Здесь $f(x)$ – непрерывная на $[a,b]$ функция, а $F(x)$ – её первообразная.

Формула и ряд Тейлора

Наряду с производной и интегралом важнейшим понятием и инструментом исследования в математическом анализе является формула Тейлора и ряд Тейлора. Если функция $f(x)$, $a < x < b$, имеет в некоторой окрестности точки $x_0$, $a < x_0 < b$, непрерывные производные до порядка $n$ включительно, то её можно приблизить в этой окрестности многочленом по степеням $x-x_0$ $$P_n(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+ \ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,$$называемым её многочленом Тейлора (степени $n$), т. е.

$$f(x)≈P_n(x)$$(формула Тейлора). При этом ошибка приближения

$$R_n(x)=f(x)-P_n(x)$$стремится к нулю при $x→x_0$ быстрее, чем $(x-x_0)^n$. Т. о., функция $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ может быть приближена весьма простой функцией (многочленом), для вычисления которой требуются только арифметические операции.

Особо важными являются функции, имеющие производные всех порядков в окрестности точки $x_0$ такие, что для них в этой окрестности $R_n(x)→ 0$ при $n→∞$. Они могут быть представлены в виде бесконечного степенного ряда Тейлора $$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+ \ldots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+ \ldots.$$Разложения Тейлора при определённых условиях возможны и для функций многих переменных, а также для функционалов и операторов.

Историческая справка

До 17 в. математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач. Например, в интегральном исчислении – это задачи на вычисление площадей фигур, объёмов тел с кривыми границами, работы переменной силы и т. д. Каждая задача или частная группа задач решалась своим методом, подчас сложным и громоздким. Математический анализ как единое и систематическое целое сложился в трудах И. Ньютона, Г. В. Лейбница, Л. Эйлера, Ж.-Л. Лагранжа и других учёных 17–18 вв., а его база – теория пределов – была разработана О. Л. Коши в начале 19 в. Глубокий анализ исходных понятий математического анализа был связан с развитием в 19–20 вв. теории множеств, теории меры, теории функций действительного переменного и привёл к разнообразным обобщениям.