ФРАКТА́Л

ФРАКТА́Л (от лат. fractus – раз­дроб­лен­ный), ес­те­ст­вен­ный объ­ект (или ма­те­ма­тич. мо­дель объ­ек­та), об­ла­даю­щий свой­ст­вом са­мо­по­до­бия, т. е. в точ­но­сти или при­бли­жён­но сов­па­даю­щий со сво­ей ча­стью. При­ме­ры объ­ек­тов в при­ро­де, ко­то­рые при­бли­жён­но яв­ля­ют­ся Ф., да­ют кро­ны де­ревь­ев, ко­рал­лы, бе­ре­го­вые ли­нии, сне­жин­ки. Ф. ха­рак­те­ри­зу­ют­ся тем, что, в от­ли­чие от обыч­ных гео­мет­рич. фи­гур (ок­руж­ность, мно­го­уголь­ник и т. п.), ко­то­рые при уве­ли­че­нии мас­шта­ба ста­но­вят­ся по­хо­жи­ми на фраг­мен­ты пря­мых ли­ний или плос­ко­стей, со­хра­ня­ют не­три­ви­аль­ную струк­ту­ру при сколь угод­но боль­шом уве­ли­че­нии мас­шта­ба.

В ма­те­ма­ти­ке Ф. ес­теств. об­ра­зом мож­но по­лу­чить про­во­дя оди­на­ко­вые по­сле­до­ва­тель­ные пре­об­ра­зо­ва­ния мно­жеств. Напр., ес­ли из от­рез­ка на пря­мой уда­лить его сред­нюю треть, за­тем из двух ос­тав­ших­ся час­тей сно­ва уда­лить их сред­ние тре­ти и не­ог­ра­ни­чен­но про­дол­жить та­кие дей­ст­вия, то в пре­де­ле ос­тав­шие­ся точ­ки об­ра­зу­ют Ф., на­зы­вае­мый Кан­то­ра мно­же­ст­вом. Ф. так­же ес­теств. об­ра­зом воз­ни­ка­ют при изу­че­нии ди­на­мич. сис­тем (по­сле­до­ва­тель­но­стей функ­ций, за­дан­ных ите­ра­тив­но) и их пре­дель­но­го по­ве­де­ния.

В тео­рии ве­ро­ят­но­стей Ф. воз­ни­ка­ют как тра­ек­то­рии слу­чай­ных про­цес­сов. Напр., Ф. яв­ля­ют­ся тра­ек­то­рии бро­унов­ско­го дви­же­ния: они са­мо­по­доб­ны при лю­бом мас­шта­бе (сколь угод­но ма­лый фраг­мент тра­ек­то­рии вы­гля­дит, в не­ко­то­ром смыс­ле, так же как и вся тра­ек­то­рия), при этом они яв­ля­ют­ся край­не не­ре­гу­ляр­ны­ми, они ни­где не диф­фе­рен­ци­руе­мы и лю­бые их фраг­мен­ты об­ла­да­ют бес­ко­неч­ной дли­ной.

Ф. ши­ро­ко при­ме­ня­ют­ся в при­клад­ных об­лас­тях. Напр., в фи­зи­ке они воз­ни­ка­ют при изу­че­нии тур­бу­лент­но­сти и диф­фу­зии. В ин­фор­ма­ти­ке при­ме­ня­ют­ся фрак­таль­ные ал­го­рит­мы сжа­тия дан­ных, ос­но­ван­ные на об­на­ру­же­нии са­мо­по­доб­ных фраг­мен­тов. Та­кие ал­го­рит­мы мо­гут да­вать сте­пень сжа­тия дан­ных, мно­го­крат­но пре­вос­хо­дя­щую тра­диц. ал­го­рит­мы, осо­бен­но в об­лас­ти сжа­тия изо­бра­же­ний и ви­део. В ком­пь­ю­тер­ной гра­фи­ке с по­мо­щью Ф. ви­зуа­ли­зи­ру­ют­ся разл. при­род­ные объ­ек­ты: де­ре­вья, об­ла­ка, гор­ные мас­си­вы, во­да, огонь и т. п. В эко­но­ми­ке и фи­нан­сах слу­чай­ные про­цес­сы, об­ла­даю­щие фрак­таль­но­стью, ис­поль­зу­ют­ся как мо­де­ли ко­ле­ба­ний цен на разл. ак­ти­вы, та­кие как ак­ции, об­ли­га­ции и т. п.

Тер­мин «Ф.» вве­дён франц. и амер. ма­те­ма­ти­ком Б. Ман­дельб­ро­том в 1975.