РИ́МАНА СФЕ́РА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
РИ́МАНА СФЕ́РА (риманова сфера), одно из возможных геометрич. изображений совокупности комплексных чисел, предложенное Б. Риманом в 1851. Комплексные числа $$z=x+iy=r(\cos j+i\sin j),$$где $i$ – мнимая единица, можно изображать точками комплексной плоскости с декартовыми $x$, $y$ или полярными $r$, $φ$ координатами. В качестве Р. с. можно принять сферу радиуса 1, касающуюся комплексной плоскости в начале координат, и каждое комплексное число $z$ изобразить на Р. с. точкой пересечения отрезка $Nz$, соединяющего эту точку с сев. полюсом Р. с. (рис.). Такое отображение называется стереографич. проекцией. Число 0 изображается юж. полюсом Р. с.; числа с одинаковым аргументом $φ=\text{const}$ (лучи в комплексной плоскости) изображаются на Р. с. меридианами, а числа с одинаковым модулем $|z|=r= =\text{const}$ (окружности с центром в начале координат в комплексной плоскости) – параллелями Р. с. Сев. полюсу $N$ Р. с. не соответствует никакое комплексное число. Однако в некоторых задачах бывает удобно дополнить комплексную плоскость бесконечно удалённой точкой $z=∞$, в этом случае можно считать, что она соответствует сев. полюсу Римана сферы.
