ПОКАЗА́ТЕЛЬНАЯ ФУ́НКЦИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ПОКАЗА́ТЕЛЬНАЯ ФУ́НКЦИЯ (экспоненциальная функция, экспонента), функция $$y=e^z≡\exp z,$$ где число $e$ – основание натуральных логарифмов, для любого значения $z$ (действительного или комплексного) определяется соотношением $$e^z=\lim_{n \rightarrow \infty}\left( 1+\frac{z}{n}\right)^n.\tag{1}$$ Её основные свойства $$e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}\,и\,(e^{z_1})^{z_2}=e^{z_1+z_2}$$ при любых значениях $z_1$ и $z_2$.
Показательная функция действительного переменного
В курсе математич. анализа рассматриваются П. ф. $y=a^x$ при действительных $x$ и $a>0, a≠1$; она связана с (основной) П. ф. $y=e^x$ соотношением $$a^x=e^{x\ln a}.$$ П. ф. $y=a^x$ определена при всех $x$, положительна, монотонна (возрастает, если $a>1$, и убывает, если $0\lt a\lt 1$), непрерывна, бесконечно дифференцируема; при этом $$(a^x)'=a^x\ln a,\quad \int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,$$ в частности $$(e^x)'=e^x\ln a,\quad \int e^x dx=e^x+C;$$ в окрестности каждой точки П. ф. может быть разложена в степенной ряд, напр.: $$e^x=1+\frac{x}{1!}+...+\frac{x^n}{n!}+...\equiv \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\qquad –∞\lt x\lt ∞.\tag{2}$$
График П. ф. (экспоненциальная кривая) проходит через точку (0, 1) и асимптотически приближается к оси $Ox$ (рис., где даны графики функций $y=e^x$, $y=\left(\frac{1}{e}\right)^x$, $y=10^x$, $y=\left(\frac{1}{10}\right)^x$, $y=2^x$, $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$); график П. ф. $y=a^x$ симметричен графику П. ф. $y=(1/a)^x$ относительно оси ординат. Если $a>1$, то $a^x$ при $x→∞$ возрастает быстрее любой степени $x$, а при $x→–∞$ стремится к нулю быстрее любой степени $1/x$, т. е. для любого $b>0$, $$lim_{x\rightarrow\infty}\frac{a^x}{x^b}=\infty,\quad\lim_{x\rightarrow -\infty}\left|x\right|^ba^x=0.$$
Обратной к П. ф. является логарифмическая функция.
П. ф. часто встречается в приложениях, когда скорость изменения к.-л. величины прямо пропорциональна самой величине, т. е. $$\frac{dy}{dt}=py$$ Решением этого дифференциального уравнения является П. ф. $y=Ce^{pt}$, где $C$ – постоянная. При $C>0$, $p>0$ эта функция при $t→∞$ экспоненциально возрастает и выражает т. н. закон естеств. роста, напр. рост числа бактерий, увеличение денежного вклада при постоянном процентном приращении. При $C> 0$, $p\lt 0$ П. ф. при $t→∞$ экспоненциально стремится к нулю. С помощью этой функции описываются процесс радиоактивного распада, затухание колебаний и т. п.
Показательная функция комплексного переменного
При комплексных $a$ и $z=x+iy$ П. ф. $a^z$ связана с (основной) П. ф. $e^z$ соотношением $$a^z=e^{z\,\text{Ln}\,a},$$где $\text{Ln}\, a$ – логарифм комплексного числа $a$. П. ф. $e^z$ – целая трансцендентная функция и является аналитич. продолжением П. ф. $e^x$ с действительной оси в комплексную плоскость.
Помимо формулы (1), П. ф. может быть определена также с помощью ряда (2), сходящегося во всей комплексной плоскости, или по формуле Эйлера $$e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$$Справедливы равенства $$∣e^z∣=e^х,\quad \text{Arg} \, e^z=y+2kπ, \, k= 0,± 1,± 2,...$$ П. ф. $e^z$ – периодическая с периодом $2πi$, т. е. $e^{z+2πi}=e^z$. П. ф. $e^z$ принимает все комплексные значения, за исключением нуля; уравнение $e^z=a$ имеет бесконечное множество решений для любого комплексного числа $a≠0$, эти решения находятся по формуле $$z=\text{Ln}\,a=\ln ∣a∣+i\text{Arg}\, a.$$
П. ф. $e^z$ – одна из основных элементарных функций. Через неё выражаются, напр., тригонометрические функции и гиперболические функции. П. ф. комплексного переменного играет важную роль в приложениях, напр. в теории рядов и интегралов Фурье, в теории колебаний и распространения волн.
