ПАРАДО́КС

ПАРАДО́КС (ан­ти­но­мия), си­туа­ция, ко­гда в тео­рии до­ка­за­ны два вза­им­но ис­клю­чаю­щих друг дру­га ут­вер­жде­ния, при­чём ка­ж­дое из них вы­ве­де­но убе­ди­тель­ны­ми с точ­ки зре­ния дан­ной тео­рии сред­ст­ва­ми.

В от­ли­чие от со­физ­ма, умыш­лен­но лож­но­го умо­зак­лю­че­ния с за­мас­ки­ро­ван­ной ошиб­кой, П., как пра­ви­ло, сви­де­тель­ст­ву­ет о глу­бо­ких не­дос­тат­ках дан­ной тео­рии. Час­то об­на­ру­же­ние П. при­во­дит к су­ще­ст­вен­ной пе­ре­строй­ке всей тео­рии в це­лом, при­вле­ка­ет вни­ма­ние к но­вым яв­ле­ни­ям и в ко­неч­ном счё­те слу­жит сти­му­лом даль­ней­ших ис­сле­до­ва­ний. Эта осо­бен­ность П. со вре­мён ан­тич­но­сти при­вле­ка­ла к се­бе вни­ма­ние фи­ло­со­фов. Уже в ан­тич­ной фи­ло­со­фии об­су­ж­да­лись неск. П., из­вест­ных под назв. апо­рий.

Од­ной из са­мых зна­ме­ни­тых апо­рий яв­ля­ет­ся апо­рия Зе­но­на Элей­ско­го «Ахилл и че­ре­па­ха». Па­ра­док­сы та­ко­го ти­па лег­ко пре­одо­ле­ва­ют­ся в совр. ма­те­ма­тич. мо­де­ли не­пре­рыв­но­го дви­же­ния. Как по­ка­зы­ва­ет под­роб­ный ана­лиз, су­ще­ст­вен­ную роль в их пре­одо­ле­нии иг­ра­ет вы­пол­не­ние в по­ле дей­ст­ви­тель­ных чи­сел ак­сио­мы Ар­хи­ме­да: для вся­ких дей­ст­ви­тель­ных чи­сел a, b > 0 най­дёт­ся на­ту­раль­ное чис­ло n, та­кое, что na > b. И всё же си­туа­ция, от­ра­жён­ная в этом П., дос­та­точ­но глу­бо­ка. Для ис­сле­до­ва­ния кон­цеп­ции бес­ко­неч­но боль­ших и бес­ко­неч­но ма­лых ве­ли­чин не­одно­крат­но пред­при­ни­ма­лись по­пыт­ки по­строе­ния тео­рии дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, в ко­то­рой ак­сио­ма Ар­хи­ме­да не име­ет мес­та. Тео­рия не­ар­хи­ме­до­вых упо­ря­до­чен­ных по­лей яв­ля­ет­ся весь­ма со­дер­жа­тель­ной ча­стью совр. ал­геб­ры.

Ещё один из­вест­ный па­ра­докс «Ку­ча» со­сто­ит в сле­дую­щем. «Од­на пес­чин­ка не есть ку­ча пес­ка. Ес­ли n пес­чи­нок не есть ку­ча пес­ка, то и n+1 пес­чин­ка – то­же не ку­ча. Сле­до­ва­тель­но, ни­ка­кое чис­ло пес­чи­нок не об­ра­зу­ют ку­чи». В совр. тер­ми­но­ло­гии к это­му П. мож­но сде­лать сле­дую­щий ком­мен­та­рий: ме­тод пол­ной ма­те­ма­тич. ин­дук­ции нель­зя при­ме­нять к объ­ём­но не­оп­ре­де­лён­ным по­ня­ти­ям, ка­ко­вым яв­ля­ет­ся по­ня­тие «ку­ча пес­ка». Со 2-й пол. 20 в. объ­ём­но не­оп­ре­де­лён­ные по­ня­тия ис­поль­зу­ют в ос­но­ва­ни­ях ма­те­ма­ти­ки для ус­та­нов­ле­ния не­про­ти­во­ре­чи­во­сти клас­сич. тео­рий и свой­ст­ва та­ких по­ня­тий ис­сле­ду­ют­ся точ­ны­ми ме­то­да­ми.

Для ма­те­ма­ти­ки наи­боль­ший ин­те­рес пред­став­ля­ют т. н. ло­ги­че­ские и се­ман­ти­че­ские П., свя­зан­ные с не­обыч­ны­ми спо­со­ба­ми об­ра­зо­ва­ния по­ня­тий.