ПАРА́БОЛА

ПАРА́БОЛА (греч. παραβολή – при­ло­же­ние), мно­же­ст­во то­чек $M=M(x,y)$ плос­ко­сти (рис. 1), для ко­то­рых рас­стоя­ние $r=FM$ до оп­ре­де­лён­ной точ­ки $F(p/2, 0)$ этой плос­ко­сти (фо­ку­са па­ра­бо­лы) рав­но рас­стоя­нию $d=DM$ до оп­ре­де­лён­ной пря­мой $D_1D'_1$ (ди­рек­три­сы па­ра­бо­лы). Пря­мая, про­хо­дя­щая че­рез фо­кус $F$ пер­пен­ди­ку­ляр­но ди­рек­три­се $D_1D'_1$, на­зы­ва­ет­ся осью па­ра­бо­лы, точ­ка пе­ре­се­че­ния П. с осью – вер­ши­ной па­ра­бо­лы.

В пря­мо­уголь­ной сис­те­ме ко­ор­ди­нат $Oxy$ с на­ча­лом в вер­ши­не П. и осью $Ox$, на­прав­лен­ной по оси П. от ди­рек­три­сы к фо­ку­су, урав­не­ние П. име­ет т. н. ка­но­нич. вид $$y^2=2px,$$ где $p$ (фо­каль­ный па­ра­метр) – рас­стоя­ние от фо­ку­са до ди­рек­три­сы или по­ло­ви­на дли­ны хор­ды, про­хо­дя­щей че­рез фо­кус пер­пен­ди­ку­ляр­но оси.

Рис. 1. Рис. 2.

П. – не­цен­траль­ная ли­ния вто­ро­го по­ряд­ка. Она со­сто­ит из од­ной бес­ко­неч­ной вет­ви, сим­мет­рич­ной от­но­си­тель­но оси. Экс­цен­три­си­тет П. $e=1$. Диа­метр па­ра­бо­лы – пря­мая, про­хо­дя­щая че­рез се­ре­ди­ны па­рал­лель­ных хорд (рис. 2).

Ка­са­тель­ная $TM$ и нор­маль $NM$ к П. в точ­ке $M$ (рис. 3) яв­ля­ют­ся бис­сек­триса­ми уг­лов ме­ж­ду фо­каль­ным ра­диус-век­то­ром $FM$ и диа­мет­ром $DM$. По­это­му ес­ли в фо­ку­се П. по­мес­тить ис­точ­ник све­та, то ис­хо­дя­щие из не­го лу­чи по­сле зер­каль­но­го от­ра­же­ния от кри­вой об­ра­зу­ют пу­чок, па­рал­лель­ный её оси.

Ра­ди­ус кри­виз­ны П. в точ­ке $M(x,y)$ $$R=(p+2x)^{3/2}/\sqrt p;$$ в вер­ши­не $R=p$.

Рис. 3. Рис. 4.

Пло­щадь сег­мен­та $AOM$ (рис. 4) рав­на $4x_1y_1/3$.

В по­ляр­ной сис­те­ме ко­ор­ди­нат (по­люс в фо­ку­се П., по­ляр­ная ось на­прав­ле­на по оси П.) урав­не­ние П. име­ет вид $$\rho=\frac{p}{1-\cos \varphi}.$$

Рис. 5.

Урав­не­ние П. с вер­ти­каль­ной осью (рис. 5): $$y=ax^2+bx+c$$ (фо­каль­ный па­ра­метр $p= ∣a∣/2$); при $a>0$ П. об­ра­ще­на вер­ши­ной вниз, при $a<0$ – вер­ши­ной вверх, ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны $$x_0=\frac{b}{2a}, \qquad y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}.$$

Ино­гда П. $n$-го по­ряд­ка на­зы­ва­ют гра­фик сте­пен­ной функ­ции $y=ax^n$.

На­зва­ние «П.» ввёл Апол­ло­ний Перг­ский (ок. 200 до н. э.), рас­смат­ри­вав­ший П. как од­но из ко­ни­че­ских се­че­ний.