ГРАДИЕ́НТ

ГРАДИЕ́НТ, век­тор, ха­рак­те­ри­зую­щий ве­ли­чи­ну и на­прав­ле­ние наи­боль­ше­го рос­та функ­ции. Точ­нее, Г. дей­ст­ви­тель­ной функ­ции $φ(x,y,z)$, диф­фе­рен­ци­руе­мой в не­ко­то­рой об­лас­ти про­стран­ст­ва, – век­тор, обо­зна­чае­мый $\textrm{grad}\,φ$ с ко­ор­ди­на­та­ми ($𝜕φ/𝜕x,𝜕φ/𝜕y,𝜕φ/𝜕z$). Г. на­прав­лен по нор­ма­ли к по­верх­но­сти уров­ня функ­ции $φ$, дли­на Г. рав­на макс. зна­че­нию про­из­вод­ной функ­ции по на­прав­ле­нию в дан­ной точ­ке.

Мно­гие свой­ст­ва Г. ана­ло­гич­ны свой­ст­вам про­из­вод­ной функ­ции од­ной пе­ре­мен­ной. Напр., ес­ли $φ$ и $ψ$ – диф­фе­рен­ци­руе­мые функ­ции в про­стран­ст­ве, а $f$ – диф­фе­рен­ци­руе­мая функ­ция од­ной пе­ре­мен­ной, то $$\textrm{grad}\,(φ+ψ)=\textrm{grad}\,φ+\textrm{grad}\,ψ,\\\textrm{grad}\,(φψ)=φ\textrm{grad}\,ψ+ψ\textrm{grad}\,φ,\\\textrm{grad}\,f(φ)=f'(φ)\textrm{grad}\,(φ).$$

Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся Г. функ­ции $m$ пе­ре­мен­ных $φ(x_1, ..., x_m), m \geqslant 2$, как век­тор с ко­ор­ди­на­та­ми ($𝜕φ /𝜕x_1, ..., 𝜕φ /𝜕x_m$).

По­ня­тие «Г.» ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся в фи­зи­ке, ме­тео­ро­ло­гии, океа­но­ло­гии и других дис­ци­п­ли­нах. Тер­мин «Г.» и обо­зна­че­ние $\textrm{grad}$ ввёл Дж. Мак­свелл (1873).

См. так­же Век­тор­ное ис­чис­ле­ние.