МУА́ВРА ФО́РМУЛА

МУА́ВРА ФО́РМУЛА, фор­му­ла, даю­щая пра­ви­ло для воз­ве­де­ния в сте­пень $n$ ком­плекс­но­го чис­ла, пред­став­лен­но­го в три­го­но­мет­рич. фор­ме $$z=ρ(\cos j+i\sin j)$$. Со­глас­но М. ф., мо­дуль $ρ$ ком­плекс­но­го чис­ла воз­во­дит­ся в эту сте­пень, а ар­гу­мент $φ$ ум­но­жа­ет­ся на по­ка­за­тель сте­пе­ни $$z^n=[ρ(\cos φ+i \sin φ)]^n= ρ^n(\cos nφ+i \sin nφ).$$ Эта фор­му­ла най­де­на А. де Му­ав­ром (1707); совр. за­пись пред­ло­же­на Л. Эй­ле­ром (1748). М. ф. мо­жет быть ис­поль­зо­ва­на для вы­ра­же­ния $\cos nφ$ и $\sin nφ$ че­рез сте­пе­ни $\cos φ$ и $\sin φ$: по­ло­жив в М. ф. $ρ=1$ и при­рав­ни­вая от­дель­но дей­ст­ви­тель­ные и мни­мые час­ти, по­лу­ча­ют $$\cos nφ=\cos ^nφ-C_n^2\cos^{n–2}φ\sin^2φ + C_n^4\cos^{n–4}φ \sin^4φ-...,$$ $$\sin nφ=C_n^1\cos^{n–1}φ\sinφ-C_n^3\cos^{n–3}φ\sin^3φ+\, ...,$$ где $C_n^m=n!/(m!(n-m)!)$ – би­но­ми­аль­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты (см. Нью­то­на би­ном).