ДИСПЕ́РСИЯ

ДИСПЕ́РСИЯ (лат. dispersio – рас­сея­ние), од­на из чи­сло­вых ха­рак­те­ри­стик рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ной ве­ли­чи­ны, наи­бо­лее употребительнaя ме­ра рас­сея­ния её зна­че­ний. Д. $\mathsf{D}X$ слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ оп­ре­де­ля­ет­ся как ма­те­ма­тич. ожи­да­ние $\mathsf{E}(X-m)^2$ квад­ра­та от­кло­не­ния $X$ от её ма­те­ма­тич. ожи­да­ния $m=\mathsf{E}X$. Для слу­чай­ной ве­ли­чины $X$ с дис­крет­ным рас­пре­де­ле­ни­ем $p_k=\mathsf{P}\{X=x_k\}, k=1, 2, ...,$ Д. оп­ре­де­ля­ет­ся ра­вен­ст­вом $$\mathsf{D}X=\sum\nolimits^\infty_{k=1}(x_k-m)^2p_k$$при условии что ряд схо­дит­ся. Для случайной величины $X$ с непрерывным распределением, имеющим плотность вероятности $p(x)$, Д. определяется равенством $$\mathsf{D}X=\int^\infty_{-{\infty}}(x-m)^2p(x)dx,$$если этот интеграл сходится.

На­ря­ду с Д. в ка­че­ст­ве ме­ры рас­сея­ния (той же раз­мер­но­сти, что и са­ма слу­чай­ная ве­ли­чи­на) ис­поль­зу­ет­ся ве­ли­чи­на $σ=\sqrt {\mathsf{D}X}$, на­зы­вае­мая квад­ра­тич­ным от­кло­не­ни­ем $X$. Ве­ли­чи­на $\mathsf{D}X=0$ то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда слу­чай­ная ве­ли­чи­на $X$ при­ни­ма­ет с ве­ро­ят­но­стью 1 един­ст­вен­ное зна­че­ние $m$. Д. об­ла­да­ет свой­ст­вом ми­ни­маль­но­сти в том смыс­ле, что $$\mathsf{D}X=\min_{-\infty \lt a \lt \infty} \mathsf{E}(X-a)^2.$$ При этом ми­ни­мум дос­ти­га­ет­ся при $a=m$. Ин­тер­пре­та­ция $\mathsf{D}X$ (и $σ$) как ха­рак­те­ри­сти­ки рас­сея­ния ос­но­ва­на на Че­бы­ше­ва не­ра­вен­ст­ве для ве­ро­ят­но­стей от­кло­не­ний слу­чай­ной ве­ли­чи­ны от её ма­те­ма­тич. ожи­да­ния. В тео­рии ве­ро­ят­но­стей боль­шое зна­че­ние име­ет тео­ре­ма о том, что Д. сум­мы не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин рав­на сум­ме Д. этих ве­ли­чин. Это свой­ст­во вы­де­ля­ет Д. сре­ди др. ха­рак­те­ри­стик рас­сея­ния. В ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ке важ­ную роль для ха­рак­те­ри­сти­ки ка­че­ст­ва ста­ти­стич. оце­нок иг­ра­ет их дис­пер­сия.