АФФИ́ННЫЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЯ

АФФИ́ННЫЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЯ, вза­им­но од­но­знач­ные ото­бра­же­ния плос­кости (про­стран­ст­ва) на се­бя, при ко­то­рых пря­мые пе­ре­хо­дят в пря­мые. Ес­ли на плос­ко­сти за­да­на де­кар­то­ва сис­те­ма ко­ор­ди­нат, то лю­бое А. п. этой плос­ко­сти мо­жет быть оп­ре­де­ле­но при по­мо­щи т. н. не­вы­ро­ж­денного ли­ней­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния ко­ор­ди­нат $x$ и $y$ то­чек $(x, y)$ этой плос­ко­сти. Та­кое пре­об­ра­зо­ва­ние за­да­ёт­ся фор­му­ла­ми $x′=ax+by+p, y′=cx+dy+q$ с до­пол­нит. тре­бо­ва­ни­ем $ad-bc≠0$. Ана­ло­гич­но, лю­бое А. п. про­стран­ст­ва мо­жет быть оп­ре­де­ле­но при по­мо­щи не­вы­ро­ж­ден­ных ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний ко­ор­ди­нат то­чек про­стран­ст­ва. Со­во­куп­ность всех А. п. плос­ко­сти (про­стран­ст­ва) на се­бя об­ра­зу­ет груп­пу аф­фин­ных пре­об­ра­зо­ва­ний. Это оз­на­ча­ет, в ча­ст­но­сти, что по­сле­до­ва­тель­ное про­ве­де­ние двух А. п. эк­ви­ва­лент­но не­ко­то­ро­му од­но­му аф­фин­но­му пре­об­ра­зо­ва­нию.

При­ме­ра­ми А. п. мо­гут слу­жить ор­то­го­наль­ное пре­об­ра­зо­ва­ние (пред­став­ля­ет со­бой дви­же­ние плос­ко­сти или про­стран­ст­ва или дви­же­ние с зер­каль­ным от­ра­же­ни­ем); пре­об­ра­зо­ва­ния по­до­бия; рав­но­мер­ное сжа­тие. Рав­но­мер­ное сжа­тие с ко­эф. $k$ плос­ко­сти $π$ к рас­по­ло­жен­ной на ней пря­мой $a$ – пре­об­ра­зо­ва­ние, при ко­то­ром точ­ки $a$ ос­та­ют­ся на мес­те, а ка­ж­дая не ле­жа­щая на $a$ точ­ка $M$ плос­ко­сти $π$ сме­ща­ет­ся по лу­чу, про­хо­дя­ще­му че­рез $M$ пер­пен­ди­ку­ляр­но $a$, в та­кую точ­ку $M′$, что от­но­ше­ние рас­стоя­ний от $M$ и $M′$ до $a$ рав­но $k$; ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся рав­но­мер­ное сжа­тие про­стран­ст­ва к плос­ко­сти. Вся­кое А. п. плос­ко­сти мож­но по­лу­чить, вы­пол­нив не­ко­то­рое ор­то­го­наль­ное пре­об­ра­зо­ва­ние и по­сле­до­ва­тель­ное сжа­тие к не­ко­то­рым двум пер­пен­ди­ку­ляр­ным пря­мым. Лю­бое А. п. про­стран­ст­ва мож­но осу­ще­ст­вить по­сред­ст­вом не­ко­то­ро­го ор­то­го­наль­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния и по­сле­до­ва­тель­ных сжа­тий к не­ко­то­рым трём вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ным плос­ко­стям. При А. п. па­рал­лель­ные пря­мые и плос­ко­сти пре­об­ра­зу­ют­ся в па­рал­лель­ные пря­мые и плос­ко­сти. Свой­ст­ва А. п. ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся в разл. раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки, ме­ха­ни­ки и тео­ре­тич. фи­зи­ки. Так, в гео­мет­рии А. п. при­ме­ня­ют­ся для т. н. аф­фин­ной клас­си­фи­ка­ции фи­гур. В ме­ха­ни­ке А. п. поль­зу­ют­ся при изу­че­нии ма­лых де­фор­ма­ций не­пре­рыв­ной сплош­ной сре­ды; при та­ких де­фор­ма­ци­ях ма­лые эле­мен­ты сре­ды в пер­вом при­бли­же­нии под­вер­га­ют­ся А. п.