ВЗАИ́МНОСТИ ТЕО́РИЯ
-
Рубрика: Технологии и техника
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ВЗАИ́МНОСТИ ТЕО́РИЯ. В основе В. т. лежат четыре осн. принципа (теоремы) взаимности.
Принцип взаимности работ (теорема Бетти): при рассмотрении двух состояний (iиk) упругого тела, каждое из которых определяется действием обобщённой силы соответственно Pi или Pk, работа внешних или внутренних сил состояния i на вызванных деформацией перемещениях состояния k(Wik) равна работе сил состояния k на перемещениях состояния i(Wki), т. е. Wik=Wki.
Принцип взаимности работ доказан итал. учёным Э. Бетти (1872). Следствием принципа взаимности работ являются теоремы взаимности перемещений, взаимности реакций и теорема взаимности реакций и перемещений.
Теорема взаимности перемещений (теорема Максвелла): при рассмотрении двух состояний тела (iиk), каждое из которых определяется действием единичной обобщённой силы соответственно Pi или Pk, перемещение состояния i по направлению действия силы P_k(δ_{ki}) равно перемещению состояния k по направлению силы P_i(δ_{ik}), т. е. δ_{ki}=δ_{ik} (рис. 1). Теорема опубликована Дж. К. Максвеллом в 1864.
Теорема взаимности реакций (теорема Рэлея): при рассмотрении двух состояний тела (i \:и\: k), каждое из которых определяется единичным смещением связи соответственно i или k, реакция в связи k\: i-го состояния (r_{ki}) равна реакции в связи i \:k-го состояния (r_{ik}), т. е. r_{ki}=r_{ik} (рис. 2). Теорема о взаимности реакций была опубликована Дж. У. Рэлеем в 1873.
Теорема взаимности реакций и перемещений: при рассмотрении двух состояний тела (i \:и\: k), каждое из которых определяется соответственно действием единичной обобщённой силы P_i и единичным смещением связи k, реакция в связи k\:i-го состояния (r_{ki}) равна по величине и обратна по знаку перемещению состояния k по направлению силы P_i (δ_{ik}), т. е. r_{ki}=–δ_{ik} (рис. 3). Теорема доказана Дж. К. Максвеллом в 1864 и Дж. У. Рэлеем в 1873.
Впервые принцип взаимности для однородной квадратичной формы был сформулирован О. Коши в 1857. Если рассматривать квадратичную форму как выражение потенциальной энергии, то отсюда следует один из важнейших принципов механики упругих тел – принцип взаимности работ. Однако Коши такого вывода не сделал.
В. т. широко применяют в строит. механике при расчётах упругих систем.