ФУРЬЕ́-О́ПТИКА
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ФУРЬЕ́-О́ПТИКА, раздел оптики, в котором законы преобразования световых полей оптич. системами исследуются с помощью фурье-анализа (спектрального разложения) и теории линейной фильтрации. Общность методов исследования систем, служащих для преобразования сигналов (временны́х фильтров), и оптич. систем, служащих для преобразования световых полей (пространственных фильтров), обусловлена общностью закономерностей, управляющих процессами в системах радиоэлектроники и оптики, общностью, заложенной в универсальности уравнений Максвелла электродинамики. Это позволяет удобно и просто описывать их поведение единым образом, используя универсальный аппарат теории линейной фильтрации и Фурье преобразования.
В Ф.-о. исследуется пространственная структура волны, описываемая для гармонич. волн фиксированной частоты комплексной амплитудой, которая определяет распределение амплитуд и фаз колебаний и является входным и выходным сигналом когерентной оптич. системы. Такая система рассматривается как пространственный фильтр, преобразующий входной сигнал [комплексную амплитуду волны $f(x,y)$ во входной плоскости оптич. системы] в выходной сигнал [комплексную амплитуду волны $g(x,y)$ в выходной плоскости оптич. системы].
Аналогом дельта-импульса (описываемого дельта-функцией), возбуждающего колебания в линейном временно́м фильтре, в задачах пространственной фильтрации является точечный источник света, расположенный во входной плоскости. При этом в выходной плоскости возникает световое поле с комплексной амплитудой $h(x,y)$, являющееся функцией координат в выходной плоскости. Это поле называется функцией рассеяния точки. Если сдвиг точечного источника по входной плоскости приводит лишь к сдвигу функции рассеяния в выходной плоскости, то такой пространственный фильтр называется инвариантным. Задача пространственной фильтрации – нахождение комплексной амплитуды волны в выходной плоскости по заданному полю во входной плоскости – решается с помощью интеграла суперпозиции. Инвариантность линейных фильтров позволяет перейти к спектральному описанию. Связь между спектрами (фурье-преобразованиями) входного $F(u,v)$ и выходного $G(u,v)$ сигналов можно записать в виде $$G(u,v)=F(u,v)-H(u,v)\tag{1},$$ где $H(u,v)$ – частотная характеристика пространственного фильтра – фурье-преобразование функции рассеяния точки. Одно из важнейших преимуществ спектрального подхода – простота операции, связывающей спектры сигналов на входе и выходе фильтра. Представление комплексной амплитуды волны в виде двумерного интеграла Фурье $$\iint F(u,v)\exp[i(ux+vy)]dudv\tag{2}$$ есть представление произвольной волны, заданной в некоторой плоскости, в виде суперпозиции плоских волн. Плоская волна $\exp[i(ux+vy)]$ в задачах пространственной фильтрации является аналогом гармонич. колебания $\exp(iωt)$ с частотой $ω$ в задачах временно́й фильтрации. Поэтому пару чисел $u,v$ называют пространственными частотами (причём параметры $u,v$ имеют смысл проекции волнового вектора плоской волны на оси $x,y$).
Пространственная модуляция осуществляется в оптике с помощью тонких пластинок – транспарантов. В общем случае с помощью транспаранта осуществляется как амплитудная, так и фазовая пространственная модуляция. Функция, определяющая характер пространственной модуляции и связывающая комплексную амплитуду волны на входе и выходе транспаранта, называется функцией пропускания (или модуляционной характеристикой) транспаранта. Для осуществления пространственной модуляции в оптике используют разл. вида маски, пластинки, амплитудные и фазовые решётки.
В оптике пространственное спектральное разложение тесно связано со свойством линзы фокусировать параллельный пучок света: падающая на линзу плоская волна фокусируется линзой в точку фокальной плоскости. Произвольная волна может быть представлена, согласно (2), суперпозицией плоских волн разных направлений (т. е. разных пространственных частот), и каждая из плоских волн в этой суперпозиции фокусируется линзой в свою определённую точку фокальной плоскости. Т. о., световое поле фокальной плоскости линзы представляет собой пространственное спектральное разложение волны, падающей на линзу.
Формирование изображения, согласно теории Аббе, – двухэтапный процесс. Первый этап (первая «дифракция») – это распространение света от входной плоскости до плоскости, где формируется пространственный спектр предметной волны (фурье-плоскость). На этом этапе линза осуществляет первое пространственное фурье-преобразование. Второй этап (вторая «дифракция») – распространение света от фурье-плоскости до плоскости изображения. На этом этапе осуществляется ещё одно фурье-преобразование. В результате двух последовательных фурье-преобразований возникает перевёрнутое изображение – поле, тождественное, с точностью до инверсии, предметному полю.
Помещая в фурье-плоскость разл. маски-транспаранты, можно непосредственно влиять на пространственный спектр изображения. Метод управления частотной характеристикой оптич. системы с помощью транспарантов, устанавливаемых в фурье-плоскости, называется корреляционной фильтрацией. С помощью этого метода решаются разл. задачи, такие как улучшение разрешающей способности, устранение пространственно-периодич. шума в изображении, апостериорная обработка изображения, осуществление ряда математич. преобразований.