РАВНОВЕ́СИЯ СОСТОЯ́НИЕ

Рис. 1. Массивный шарик в жёлобе.

РАВНОВЕ́СИЯ СОСТОЯ́НИЕ, со­стоя­ние сис­те­мы, при ко­то­ром все опи­сы­ваю­щие её пе­ре­мен­ные не из­ме­ня­ют­ся во вре­ме­ни. Об­ра­зом Р. с. в фа­зо­вом про­стран­ст­ве со­от­вет­ст­вую­щей ди­на­ми­че­ской сис­те­мы яв­ля­ет­ся точ­ка. Р. с. мо­гут быть гру­бы­ми (струк­тур­но ус­той­чи­вы­ми) и не­гру­бы­ми. Не­гру­бые Р. с. ис­че­за­ют в фа­зо­вом про­стран­ст­ве при сколь угод­но ма­лых из­ме­не­ни­ях па­ра­мет­ров ди­на­мич. сис­те­мы, гру­бые со­хра­ня­ют­ся да­же при ко­неч­ных из­ме­не­ни­ях па­ра­мет­ров. При­мер фи­зич. сис­те­мы с гру­бы­ми Р. с. – мас­сив­ный ша­рик в жё­ло­бе, со­стоя­щем из двух ямок (рис. 1). Здесь мо­гут су­ще­ст­во­вать три Р. с., ко­гда ша­рик на­хо­дит­ся в по­ло­же­ни­ях $A$, $B$ и $C$. По­ло­же­ние $B$ от­ве­ча­ет не­ус­той­чи­во­му Р. с., т. к. при сколь угод­но ма­лых от­кло­не­ни­ях ша­рик на­чи­на­ет дви­гать­ся и по­ки­да­ет ок­ре­ст­ность этой точ­ки. Ина­че ве­дёт се­бя ша­рик, ес­ли из­на­чаль­но он по­ко­ил­ся в точ­ке $A$ или $C$. По­лу­чив от­кло­не­ние, ша­рик нач­нёт дви­гать­ся с умень­шаю­щей­ся за счёт тре­ния ско­ро­стью и при­дёт в од­но из со­стоя­ний $A$ или $C$ в за­ви­си­мо­сти от ве­ли­чи­ны от­кло­не­ния, со­хра­нив или из­ме­нив своё на­чаль­ное Р. с. Та­ким об­ра­зом, Р. с. мо­жет быть ус­той­чи­вым по от­но­ше­нию к од­ним от­кло­не­ни­ям и не­ус­той­чи­вым по от­но­ше­нию к дру­гим.

Рис. 2. Различные типы состояния равновесия на фазовой плоскости: а – устойчивый фокус; б – устойчивый узел; в – седло.

При­мер сис­те­мы с не­гру­бы­ми Р. с. – мас­сив­ный ша­рик на го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти. Та­кая сис­те­ма име­ет бес­ко­неч­ное чис­ло ус­той­чи­вых Р. с., на­зы­вае­мых без­раз­лич­но ус­той­чи­вы­ми. От­кло­не­ния ша­ри­ка лишь пе­ре­во­дят его в но­вое по­ло­же­ние рав­но­ве­сия. Од­на­ко при не­боль­шом из­ме­не­нии на­кло­на по­верх­но­сти рас­смот­рен­ные Р. с. ис­че­за­ют и по­ло­же­ния ша­ри­ка те­ря­ют ус­той­чи­вость. С ма­те­ма­тич. точ­ки зре­ния Р. с. асим­пто­ти­че­ски ус­той­чи­во, ес­ли все тра­ек­то­рии, на­чи­наю­щие­ся в его ма­лой ок­ре­ст­но­сти, при­бли­жа­ют­ся к не­му при $t→+∞$. Ес­ли же хо­тя бы од­на из тра­ек­то­рий ухо­дит из этой ок­ре­ст­но­сти, Р. с. не­ус­той­чи­вое. Тра­ек­то­рии, на­чи­наю­щие­ся в ма­лой ок­ре­ст­но­сти гру­бо­го Р. с., ве­дут се­бя по-раз­но­му, со­от­вет­ст­вен­но вы­де­ля­ют разл. ти­пы Р. с. Для ди­на­мич. сис­тем на плос­ко­сти тра­ек­то­рии мо­гут воз­вра­щать­ся к Р. с. (или ухо­дить от не­го), со­вер­шая ли­бо не со­вер­шая при этом ко­ле­ба­ния. При на­ли­чии ко­ле­ба­ний на­блю­да­ет­ся Р. с. ти­па фо­кус (рис. 2, а); ес­ли ко­ле­ба­ния от­сут­ст­ву­ют, на­блю­да­ют­ся Р. с. ти­па узел (рис. 2, б). Ес­ли по не­ко­то­рым на­прав­ле­ни­ям тра­ек­то­рии стре­мят­ся к Р. с., а по дру­гим ухо­дят от не­го, то та­кое Р. с. на­зы­ва­ют сед­лом (рис. 2, в).