ПРЕДСТАВЛЕ́НИЙ ТЕО́РИЯ

ПРЕДСТАВЛЕ́НИЙ ТЕО́РИЯ, часть тео­рии ал­гебр и групп, в ко­то­рой ка­ж­до­му эле­мен­ту ал­геб­ры или груп­пы ста­вит­ся в со­от­вет­ст­вие ли­ней­ное пре­об­ра­зо­ва­ние век­то­ров. Лю­бой век­тор $ψ$ мо­жет быть пред­став­лен в ви­де ли­ней­ной ком­би­на­ции $ψ=\sum_na_nψ_n$ ба­зис­ных век­то­ров $ψ_n$ и бу­дет пол­но­стью оп­ре­де­лять­ся ко­эф. $a_n$ этой ком­би­на­ции. Ес­ли изо­бра­зить его столб­цом из чи­сел $a_n$, то пре­об­ра­зо­ва­нию $G$ бу­дет от­ве­чать квад­рат­ная мат­ри­ца с чис­лен­ны­ми эле­мен­та­ми $G_{mn}$, а ре­зуль­тат пре­об­ра­зо­ва­ния бу­дет век­то­ром с ко­эф. $b_m=\sum_nG_{mn}a_n$.

Осо­бую роль П. т. иг­ра­ет в кван­то­вой ме­ха­ни­ке, где со­стоя­ни­ям кван­то­вой сис­те­мы ста­вят­ся в со­от­вет­ст­вие век­то­ры со­стоя­ния, яв­ляю­щие­ся эле­мен­та­ми ли­ней­но­го про­стран­ст­ва. Кван­то­во­ме­ха­нич. прин­цип то­ж­де­ст­вен­но­сти не по­зво­ля­ет экс­пе­ри­мен­таль­но раз­ли­чить оди­на­ко­вые час­ти­цы. По­это­му со­стоя­ние сис­те­мы с оди­на­ко­вы­ми час­ти­ца­ми не из­ме­нит­ся, ес­ли по­ме­нять их мес­та­ми. Напр., для мо­ле­ку­лы с оди­на­ко­вы­ми ато­ма­ми та­кая пе­ре­ме­на мест мо­жет осу­ще­ст­в­лять­ся по­во­ро­та­ми мо­ле­ку­лы как це­ло­го во­круг к.-л. оси или от­ра­же­ни­ем в к.-л. плос­ко­сти (и их ком­би­на­ция­ми). Та­кие пре­об­ра­зо­ва­ния об­ра­зу­ют то­чеч­ную груп­пу сим­мет­рии мо­ле­ку­лы (они обя­за­тель­но ос­тав­ля­ют не­под­виж­ной не­ко­то­рую точ­ку «внут­ри» мо­ле­ку­лы). Пре­об­ра­зо­ва­ния сим­мет­рии удоб­но изо­бра­жать мат­ри­ца­ми, дей­ст­вую­щи­ми на столб­цы, от­ве­чаю­щие век­то­рам со­стоя­ния мо­ле­ку­лы.

Мат­ри­цы пре­об­ра­зо­ва­ний сим­мет­рии мож­но (од­но­вре­мен­но для всех эле­мен­тов груп­пы сим­мет­рии) при­вес­ти к блоч­но-диа­го­наль­но­му ви­ду вы­бо­ром ба­зи­са в про­стран­ст­ве со­стоя­ний: пол­ная мат­ри­ца в этом слу­чае со­сто­ит из квад­рат­ных бло­ков вдоль диа­го­на­ли, а вне бло­ков все её эле­мен­ты рав­ны ну­лю. По­это­му ка­ж­дый блок осу­ще­ст­в­ля­ет пред­став­ле­ние груп­пы сим­мет­рии, дей­ст­вую­щее на ли­ней­ные ком­би­на­ции лишь не­ко­то­рых эле­мен­тов ба­зи­са. От­ве­чаю­щие бло­кам пред­став­ле­ния на­зы­ва­ют­ся не­при­во­ди­мы­ми. Уров­ни энер­гии мо­ле­ку­лы оди­на­ко­вы для со­стоя­ний, со­от­вет­ст­вую­щих ка­ж­до­му не­при­во­ди­мо­му пред­став­ле­нию. П. т. да­ёт клас­си­фи­ка­цию уров­ней энер­гии мно­го­атом­ных мо­ле­кул.