ПО́ЙНТИНГА ТЕОРЕ́МА

ПО́ЙНТИНГА ТЕОРЕ́МА, вы­ра­жа­ет за­кон со­хра­не­ния энер­гии в фи­зич. про­цес­сах с уча­сти­ем элек­тро­маг­нит­но­го по­ля. П. т. до­ка­за­на англ. фи­зи­ком Дж. Г. Пойн­тин­гом в 1884 с по­мо­щью Мак­свел­ла урав­не­ний. Для объ­ё­ма $V$, ог­ра­ни­чен­но­го за­мк­ну­той не­под­виж­ной по­верх­но­стью $S$, П. т. за­пи­сы­ва­ет­ся в ви­де:$$\oint\limits_S Π\boldsymbol n dS+\int\limits_V\left( \boldsymbol E \frac{\partial\boldsymbol D}{\partial t}+\boldsymbol H\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t}\right)dV+\int\limits_V\boldsymbol j \boldsymbol E dV=0,\tag{*}$$ где $\boldsymbol Π$ – Пойн­тин­га век­тор, $\boldsymbol n$ – еди­нич­ный век­тор, на­прав­лен­ный по нор­ма­ли к эле­мен­ту по­верх­но­сти $dS$ из­нут­ри объ­ё­ма $V$ на­ру­жу, $\boldsymbol E$ и $\boldsymbol D$ – на­пря­жён­ность и ин­дук­ция элек­трич. по­ля, $\boldsymbol H$ и $\boldsymbol B$ – на­пря­жён­ность и ин­дук­ция маг­нит­но­го по­ля, $j$ –плот­ность элек­трич. то­ка, $dV$ – эле­мент объ­ё­ма, к ко­то­ро­му от­но­сят­ся мак­ро­ско­пич. (ус­ред­нён­ные) зна­че­ния век­то­ров элек­тро­маг­нит­но­го по­ля и плот­но­сти то­ка. Пер­вый ин­те­грал в вы­ра­же­нии (*) оп­ре­де­ля­ет энер­гию элек­тро­маг­нит­но­го по­ля, вы­но­си­мую из объ­ё­ма $V$ в еди­ни­цу вре­ме­ни; вто­рой – ско­рость из­ме­не­ния пол­ной энер­гии элек­тро­маг­нит­но­го по­ля, ог­ра­ни­чен­но­го объ­ё­мом $V$; тре­тий – ра­бо­ту, за­тра­чи­вае­мую в еди­ни­цу вре­ме­ни элек­тро­маг­нит­ным по­лем на со­зда­ние то­ков про­во­ди­мо­сти в объ­ё­ме $V$. Этот член так­же от­вет­ст­вен за пре­вра­ще­ние в объ­ё­ме $V$ элек­тро­маг­нит­ной энер­гии в те­п­ло­вую (см. Джо­уля – Лен­ца за­кон). По­дын­те­граль­ное вы­ра­же­ние во вто­ром ин­те­гра­ле име­ет фи­зич. смысл ско­ро­стей из­ме­не­ния объ­ём­ных плот­но­стей элек­трич. и маг­нит­но­го по­лей (пер­вое и вто­рое сла­гае­мое со­от­вет­ст­вен­но). Т. о., энер­гия элек­тро­маг­нит­но­го по­ля, на­хо­дя­ще­го­ся в ог­ра­ни­чен­ном объ­ё­ме, мо­жет из­ме­нять­ся толь­ко из-за соз­да­ния в этом объ­ё­ме джо­уле­ва те­п­ла и за счёт по­то­ка энер­гии элек­тро­маг­нит­но­го по­ля че­рез по­верх­ность, ог­ра­ни­чи­ваю­щую рас­смат­ри­вае­мый объ­ём.

Ес­ли энер­гия элек­тро­маг­нит­но­го по­ля, на­хо­дя­ще­го­ся в объ­ё­ме $V$, мо­жет пе­ре­хо­дить в др. ви­ды энер­гии (ме­ха­нич., хи­мич. и др.) или воз­ни­кать из них, П. т. обоб­ща­ет­ся до­бав­ле­ни­ем в фор­му­лу (*) объ­ём­ных ин­те­гра­лов от плот­но­стей, а так­же по­то­ков че­рез по­верх­ность $S$ со­от­вет­ст­вую­щих ви­дов энер­гии.