КВА́НТОВАЯ ТОМОГРА́ФИЯ

КВА́НТОВАЯ ТОМОГРА́ФИЯ, ме­тод из­мере­ния кван­то­вых со­стоя­ний

фи­зич. сис­те­мы, по­зво­ляю­щий экс­пе­ри­мен­таль­но оп­ре­де­лить вол­но­вую функ­цию сис­те­мы в слу­чае чис­тых со­стоя­ний или её опе­ра­тор плот­но­сти в слу­чае сме­шан­ных со­стоя­ний. Из­ме­ряе­мая то­мо­грам­ма кван­то­вой сис­те­мы пред­став­ля­ет со­бой стан­дарт­ную функ­цию рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­сти. Для оп­ре­де­лён­но­го спи­на $j=0, 1/2, 1,3/2,\dots$ то­мо­грам­ма яв­ля­ет­ся рас­пре­де­ле­ни­ем ве­ро­ят­но­сти $w(m, \boldsymbol n)$ дис­крет­ной слу­чай­ной про­ек­ции спи­на $m=-j, -j+1, \dots, j-1, j$ на на­прав­ле­ние кван­то­ва­ния, за­да­вае­мое еди­нич­ным век­то­ром $\boldsymbol n=(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)$, где $\theta$ и $\phi$ – уг­ло­вые ко­ор­ди­на­ты. Для бес­спи­но­вой час­ти­цы с од­ной сте­пе­нью сво­бо­ды кван­то­вая то­мо­грам­ма $w(X, \theta)$ пред­став­ля­ет со­бой плот­ность ве­ро­ят­но­сти не­пре­рыв­ной слу­чай­ной ко­ор­ди­на­ты $X$, из­ме­ряе­мой в фа­зо­вом про­стран­ст­ве сис­те­мы, оси ко­то­рой по­вёр­ну­ты от­но­си­тель­но ис­ход­ных осей ко­ор­ди­на­ты и им­пуль­са в фа­зо­вом про­стран­ст­ве на угол $\theta$. Для кван­то­во­го со­стоя­ния фо­то­на то­мо­грам­ма $w(X, \theta)$ на­зы­ва­ет­ся оп­тич. то­мо­грам­мой, а слу­чай­ная пе­ре­мен­ная $X$ – го­мо­дин­ной на­блю­дае­мой. С по­мо­щью ин­те­граль­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния Ра­до­на, ис­поль­зуе­мо­го, напр., в мед. то­мо­гра­фах, по оп­тич. то­мо­грам­ме на­хо­дит­ся функ­ция Виг­не­ра $W(q,p)$ кван­то­во­го со­стоя­ния фо­то­на, за­ви­ся­щая от квад­ра­тур­ных ком­по­нент $q$ и $p$ фо­то­на, а тем са­мым и опе­ра­тор плот­но­сти, за­даю­щий кван­то­вое со­стоя­ние фо­то­на.

К. т. ис­поль­зу­ет­ся в т. н. ве­ро­ят­но­ст­ном пред­став­ле­нии кван­то­вой ме­ха­ни­ки, в ко­то­ром урав­не­ния эво­лю­ции со­стоя­ния кван­то­вой сис­те­мы – урав­не­ние Шрёдин­ге­ра для вол­но­вой функ­ции и урав­не­ние фон Ней­ма­на для опе­ра­то­ра плот­но­сти – при­ни­ма­ют вид ки­не­тич. урав­не­ний эво­лю­ции рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­сти, по­хо­жих на ки­не­тич. урав­не­ния клас­сич. ста­ти­стич. ме­ха­ни­ки. Кван­то­вые пе­ре­хо­ды в ве­ро­ят­но­ст­ном пред­став­ле­нии за­да­ют­ся стан­дарт­ны­ми ве­ро­ят­но­стя­ми пе­ре­хо­дов ме­ж­ду со­стоя­ния­ми, напр. ато­мов, а с по­мо­щью обоб­щён­ных пре­об­ра­зо­ва­ний Ра­до­на по этим ве­ро­ят­но­стям пе­ре­хо­дов мож­но най­ти обыч­ные ком­плекс­ные ам­пли­ту­ды ве­ро­ят­но­сти, оп­ре­де­ляе­мые из урав­не­ния эво­лю­ции Шрё­дин­ге­ра.

Для двух спи­нов $j_1$ и $j_2$ то­мо­грам­ма со­стоя­ния за­да­ёт­ся сов­ме­ст­ной функ­ци­ей рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­сти $w(m_1, m_2, \boldsymbol n_1, \boldsymbol n_2)$ двух дис­крет­ных слу­чай­ных пе­ре­мен­ных $m_1$ и $m_2$, яв­ляю­щих­ся про­ек­ция­ми спи­нов на на­прав­ле­ния кван­то­ва­ния $\boldsymbol n_1$ и $\boldsymbol n_2$ со­от­вет­ст­вен­но. Ес­ли со­стоя­ние пе­ре­пу­тан­ное, функ­ция рас­пре­де­ле­ния не­пред­ста­ви­ма в ви­де сум­мы фак­то­ри­зо­ван­ных функ­ций ви­да $w_1(m_1, \boldsymbol n_1)w_2(m_2, \boldsymbol n_2)$, оп­ре­де­ляю­щих со­стоя­ние без кор­ре­ля­ций.

К. т. и ос­но­ван­ное на ней ве­ро­ят­но­ст­ное пред­став­ле­ние кван­то­вой ме­ха­ни­ки эк­ви­ва­лент­ны др. под­хо­дам к опи­са­нию кван­то­вых со­стоя­ний и кван­то­вых пе­ре­хо­дов, та­ким, напр., как фейн­ма­нов­ский функ­цио­наль­но­го ин­те­гра­ла ме­тод

. Опе­ри­руя с ве­ро­ят­но­стя­ми, К. т. по­зво­ля­ет по­пол­нить ма­те­ма­тич. ап­па­рат кван­то­вой ме­ха­ни­ки из­вест­ны­ми из тео­рии ве­ро­ят­но­стей по­ня­тия­ми, та­ки­ми как, напр., ин­фор­ма­ция и эн­тро­пия Шен­но­на, ас­со­ции­ро­ван­ные с то­мо­грам­ма­ми кван­то­вых со­стоя­ний.